[210430] 2021년 4월 학평 확률과통계 30번

다음 조건을 만족시키는 $14$ 이하의 네 자연수 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$의 모든 순서쌍 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$의 개수를 구하시오.

(가) $x_1+x_2+x_3+x_4=34$ (나) $x_1$과 $x_3$은 홀수이고, $x_2$와 $x_4$는 짝수이다.

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$0\le k_1,k_2,k_3,k_4\le6$에 대해 $x_1=2k_1+1$, $x_2=2k_2+2$, $x_3=2k_3+1$, $x_4=2k_4+2$로 둘 수 있다.

 

(가) 조건에 이를 대입하자.

$x_1+x_2+x_3+x_4=(2k_1+1)+(2k_2+2)+(2k_3+1)+(2k_4+2)=2(k_1+k_2+k_3+k_4)+6=34$

$k_1+k_2+k_3+k_4=14$

이를 만족하는 순서쌍 $(k_1,k_2,k_3,k_4)$은 $_4H_{14}={_{17}C_{14}}=680$개

 

이제 $7$ 이상인 수가 있는 경우만 빼주면 된다.

$k_1\ge7$인 경우 $k_1'=k_1-7$로 잡으면 $k_1'+k_2+k_3+k_4=7$이다.

이를 만족하는 순서쌍의 수는 $_4H_7={_{10}C_7}=120$개

$k_2, k_3, k_4$이 $7$ 이상일 수도 있으므로 총 $4\cdot120=480$개이다.

 

$k_1,k_2,k_3,k_4$ 중 $2$개 이상이 $7$ 이상인 순서쌍은 중복해서 셌으므로 제외해야한다.

이런 경우는 $7$이 $2$번, $0$이 $2$번 나오는 $_4C_2=6$가지뿐이다.

 

포함과 배제의 원리에 의해 원하는 경우의 수는 $680-480+6=206$