[210428] 2021년 4월 학평 미적분 28번

길이가 $4$인 선분 $A_1{B}_1$을 지름으로 하는 원 $O_1$이 있다. 원 $O_1$의 외부에 $\mathrm{\angle }{B}_1{A}_1{C}_1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, $\overline{A_1{B}_1}:\overline{A_1{C}_1}=4:3$이 되도록 점 $C_1$을 잡고 두 선분 $A_1{C}_1$, $B_1{C}_1$을 그린다. 원 $O_1$과 선분 $B_1{C}_1$의 교점 중 $B_1$이 아닌 점을 $D_1$이라 하고, 점 $D_1$을 포함하지 않는 호 $A_1{B}_1$과 두 선분 $A_1{D}_1$, $B_1{D}_1$으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 호 $A_1{D}_1$과 두 선분 $A_1{C}_1$, $C_1{D}_1$에 동시에 접하는 원 $O_2$를 그리고 선분 $A_1{C}_1$과 원 $O_2$의 교점을 $A_2$, 점 $A_2$를 지나고 직선 $A_1{B}_1$과 평행한 직선이 원 $O_2$와 만나는 점 중 $A_2$가 아닌 점을 $B_2$라 하자. 그림 $R_1$에서 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 $C_2$, $D_2$를 잡고, 점 $D_2$를 포함하지 않는 호 $A_2{B}_2$와 두 선분 $A_2{D}_2$, $B_2{D}_2$로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n}$의 값은?

---

$\overline{A_1{B}_1}=4$, $\overline{A_1{C}_1}=3$이므로 $\overline{B_1{C}_1}=5$이다.

$\mathrm{△}{A}_1{B}_1{D}_1$과 $\mathrm{△}{C}_1{B}_1{A}_1$은 닮음이므로 $\overline{A_1{D}_1}={\displaystyle \frac{12}{5}}$, $\overline{B_1{D}_1}={\displaystyle \frac{16}{5}}$이다.

$R_1$에 색칠된 부분의 넓이는 반지름의 길이가 $2$인 반원의 넓이와 $\mathrm{△}{A}_1{B}_1{D}_1$의 넓이의 합이다.

$S_1={\displaystyle \frac{2^2\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{12}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{16}{5}}=2\pi +{\displaystyle \frac{96}{25}}$

 

계속 같은 과정을 반복하여 다음 그림을 얻기 때문에 $O_2$의 반지름 길이 $r$을 구해 닮음비를 구하면 된다.

원 $O_1$, $O_2$의 중심을 $O_1$, $O_2$라 하고 점 $O_2$에서 선분 $A_1{B}_1$, $B_1{C}_1$에 내린 수선의 발을 각각 $H_1$, $H_2$라고 하자.

그리고 점 $O_2$을 지나고 선분 $A_1{B}_1$과 평행하게 그은 직선이 선분 $B_1{C}_1$과 만나는 점을 $F$라 하자.

 

$\mathrm{\angle }{O}_2{H}_{2}F=\mathrm{\angle }{C}_1{A}_1{B}_1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, $\mathrm{\angle }{H}_{2}F{O}_2=\mathrm{\angle }{A}_1{B}_1{C}_1$이므로 $\mathrm{△}{H}_{2}F{O}_2\sim \mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1$

$\overline{O_2{H}_2}=r$이므로 $\overline{O_{2}F}={\displaystyle \frac{5}{3}}r$

 

$\mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1$과 $\mathrm{△}{A}_{2}F{C}_1$은 $\mathrm{\angle }C$를 공유하고 $\overline{A_1{B}_1}$과 $\overline{A_{2}F}$가 평행하므로 서로 닮음이다.
$\overline{A_2{F}_2}=\overline{A_2{O}_2}+\overline{O_{2}F}=r+{\displaystyle \frac{5}{3}}r={\displaystyle \frac{8}{3}}r$이므로 $\overline{A_2{C}_1}={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{3}}r=2r$

 

삼각형 $O_1{O}_2{H}_1$을 생각하자.

$\overline{O_1{H}_1}=\overline{A_1{O}_1}-\overline{A_1{H}_1}=\overline{A_1{O}_1}-\overline{A_2{O}_2}=2-r$

$\overline{O_2{H}_1}=\overline{A_2{A}_1}=\overline{C_1{A}_1}-\overline{C_1{A}_2}=3-2r$

$\overline{O_1{O}_2}=2+r$

$\mathrm{\angle }{O}_1{H}_1{O}_2={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$이므로 피타고라스 정리에서 다음 식을 얻는다.

$(2+r{)}^2=(2-r{)}^2+(3-2r{)}^2$

$4r^2-20r+9=0$

$(2r-1)(2r-9)=0$

$r<2$이므로 $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$

 

원 $O_1$, $O_2$의 닮음비가 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$이므로 $R_2$에서 새로 색칠된 부분의 넓이는 $R_1$에서 색칠된 부분의 넓이의 ${\displaystyle \frac{1}{16}}$이다.

같은 과정을 반복했으므로 이 비는 일정하다.

따라서 $S_n$은 첫 항이 $2\pi +{\displaystyle \frac{96}{25}}$이고 공비가 ${\displaystyle \frac{1}{16}}$인 등비수열의 $n$번째 항까지의 합이 된다.

$\therefore {\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n={\displaystyle \frac{2\pi +{\displaystyle \frac{96}{25}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{16}}}}={\displaystyle \frac{32}{15}}\pi +{\displaystyle \frac{512}{125}}}$