[210428] 2021년 4월 학평 미적분 28번

길이가 $4$인 선분 $A_1B_1$을 지름으로 하는 원 $O_1$이 있다. 원 $O_1$의 외부에 $\angle B_1A_1C_1=\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{A_1B_1}:\overline{A_1C_1}=4:3$이 되도록 점 $C_1$을 잡고 두 선분 $A_1C_1$, $B_1C_1$을 그린다. 원 $O_1$과 선분 $B_1C_1$의 교점 중 $B_1$이 아닌 점을 $D_1$이라 하고, 점 $D_1$을 포함하지 않는 호 $A_1B_1$과 두 선분 $A_1D_1$, $B_1D_1$으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 호 $A_1D_1$과 두 선분 $A_1C_1$, $C_1D_1$에 동시에 접하는 원 $O_2$를 그리고 선분 $A_1C_1$과 원 $O_2$의 교점을 $A_2$, 점 $A_2$를 지나고 직선 $A_1B_1$과 평행한 직선이 원 $O_2$와 만나는 점 중 $A_2$가 아닌 점을 $B_2$라 하자. 그림 $R_1$에서 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 $C_2$, $D_2$를 잡고, 점 $D_2$를 포함하지 않는 호 $A_2B_2$와 두 선분 $A_2D_2$, $B_2D_2$로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$의 값은?

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$\overline{A_1B_1}=4$, $\overline{A_1C_1}=3$이므로 $\overline{B_1C_1}=5$이다.

$\triangle A_1B_1D_1$과 $\triangle C_1B_1A_1$은 닮음이므로 $\overline{A_1D_1}=\dfrac{12}{5}$, $\overline{B_1D_1}=\dfrac{16}{5}$이다.

$R_1$에 색칠된 부분의 넓이는 반지름의 길이가 $2$인 반원의 넓이와 $\triangle A_1B_1D_1$의 넓이의 합이다.

$S_1=\dfrac{2^2\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{12}{5}\cdot\dfrac{16}{5}=2\pi+\dfrac{96}{25}$

 

계속 같은 과정을 반복하여 다음 그림을 얻기 때문에 $O_2$의 반지름 길이 $r$을 구해 닮음비를 구하면 된다.

원 $O_1$, $O_2$의 중심을 $O_1$, $O_2$라 하고 점 $O_2$에서 선분 $A_1B_1$, $B_1C_1$에 내린 수선의 발을 각각 $H_1$, $H_2$라고 하자.

그리고 점 $O_2$을 지나고 선분 $A_1B_1$과 평행하게 그은 직선이 선분 $B_1C_1$과 만나는 점을 $F$라 하자.

 

$\angle O_2H_2F=\angle C_1A_1B_1=\dfrac{\pi}{2}$, $\angle H_2FO_2=\angle A_1B_1C_1$이므로 $\triangle H_2FO_2\sim\triangle A_1B_1C_1$

$\overline{O_2H_2}=r$이므로 $\overline{O_2F}=\dfrac{5}{3}r$

 

$\triangle A_1B_1C_1$과 $\triangle A_2FC_1$은 $\angle C$를 공유하고 $\overline{A_1B_1}$과 $\overline{A_2F}$가 평행하므로 서로 닮음이다.
$\overline{A_2F_2}=\overline{A_2O_2}+\overline{O_2F}=r+\dfrac{5}{3}r=\dfrac{8}{3}r$이므로 $\overline{A_2C_1}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{3}r=2r$

 

삼각형 $O_1O_2H_1$을 생각하자.

$\overline{O_1H_1}=\overline{A_1O_1}-\overline{A_1H_1}=\overline{A_1O_1}-\overline{A_2O_2}=2-r$

$\overline{O_2H_1}=\overline{A_2A_1}=\overline{C_1A_1}-\overline{C_1A_2}=3-2r$

$\overline{O_1O_2}=2+r$

$\angle O_1H_1O_2=\dfrac{\pi}{2}$이므로 피타고라스 정리에서 다음 식을 얻는다.

$(2+r)^2=(2-r)^2+(3-2r)^2$

$4r^2-20r+9=0$

$(2r-1)(2r-9)=0$

$r<2$이므로 $r=\dfrac{1}{2}$

 

원 $O_1$, $O_2$의 닮음비가 $\dfrac{1}{4}$이므로 $R_2$에서 새로 색칠된 부분의 넓이는 $R_1$에서 색칠된 부분의 넓이의 $\dfrac{1}{16}$이다.

같은 과정을 반복했으므로 이 비는 일정하다.

따라서 $S_n$은 첫 항이 $2\pi+\dfrac{96}{25}$이고 공비가 $\dfrac{1}{16}$인 등비수열의 $n$번째 항까지의 합이 된다.

$\therefore \displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{2\pi+\dfrac{96}{25}}{1-\dfrac{1}{16}}=\dfrac{32}{15}\pi+\dfrac{512}{125}$