[210430] 2021년 4월 학평 기하 30번

두 초점이 $F(c,0)$, $F^{\prime }(-c,0)$ $(c>0)$인 타원 ${\displaystyle \frac{x^2}{16}}+{\displaystyle \frac{y^2}{7}}=1$ 위의 점 $P$에 대하여 직선 $FP$와 직선 $F^{\prime }P$에 동시에 접하고 중심이 선분 $F{F}^{\prime }$ 위에 있는 원 $C$가 있다. 원 $C$의 중심을 $C$, 직선 $F^{\prime }P$가 원 $C$와 만나는 점을 $Q$라 할 때, $2\overline{PQ}=\overline{PF}$이다. $24\times \overline{CP}$의 값을 구하시오. (단, 점 $P$는 제$1$사분면 위의 점이다.)

---

$c=3$임은 쉽게 알 수 있다.

 

$\overline{PF}$와 원 $C$가 접하는 점을 $R$이라 하고 $\overline{PQ}=x$, $\overline{PC}=l$로 두자.

$\overline{PF}=2\overline{PQ}=2x$이고 $\overline{PQ}=\overline{PR}$이므로 $\overline{PR}=\overline{RF}=x$

$\overline{P{F}^{\prime }}=8-\overline{PF}=8-2x$

$\mathrm{△}PCR\equiv \mathrm{△}FCR$이므로 $\overline{PC}=\overline{CF}=l$이다.

$\overline{C{F}^{\prime }}=6-\overline{FC}=6-l$이다.

 

직선 $PC$는 각 $F^{\prime }PF$의 이등분선이므로 $\overline{P{F}^{\prime }}:\overline{PF}=\overline{F^{\prime }C}:\overline{CF}$가 성립한다.

$8-2x:2x=6-l:l$에서 $2x(6-l)=(8-2x)l$이고 $l={\displaystyle \frac{3}{2}}x$

 

${\overline{CQ}}^2={\overline{CP}}^2-{\overline{PQ}}^2={\overline{C{F}^{\prime }}}^2-{\overline{Q{F}^{\prime }}}^2$

$l^2-x^2=(6-l{)}^2-(8-3x{)}^2$

$l={\displaystyle \frac{3}{2}}x$를 대입해 정리하면 다음 이차방정식을 얻는다.

$4x^2-15x+14=(4x-7)(x-2)=0$

$x=2$이면 $\overline{PF}=\overline{P{F}^{\prime }}=4$가 되어 점 $P$가 $y$축 위에 있어야하므로 불가능하다.

$\therefore x={\displaystyle \frac{7}{4}}$, $l={\displaystyle \frac{21}{8}}$

 

$24\times \overline{CP}=24\times {\displaystyle \frac{21}{8}}=63$