[210430] 2021년 4월 학평 기하 30번

두 초점이 $F(c,0)$, $F'(-c,0)$ $(c>0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점 $P$에 대하여 직선 $FP$와 직선 $F'P$에 동시에 접하고 중심이 선분 $FF'$ 위에 있는 원 $C$가 있다. 원 $C$의 중심을 $C$, 직선 $F'P$가 원 $C$와 만나는 점을 $Q$라 할 때, $2\overline{PQ}=\overline{PF}$이다. $24\times\overline{CP}$의 값을 구하시오. (단, 점 $P$는 제$1$사분면 위의 점이다.)

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$c=3$임은 쉽게 알 수 있다.

 

$\overline{PF}$와 원 $C$가 접하는 점을 $R$이라 하고 $\overline{PQ}=x$, $\overline{PC}=l$로 두자.

$\overline{PF}=2\overline{PQ}=2x$이고 $\overline{PQ}=\overline{PR}$이므로 $\overline{PR}=\overline{RF}=x$

$\overline{PF'}=8-\overline{PF}=8-2x$

$\triangle PCR \equiv\triangle FCR$이므로 $\overline{PC}=\overline{CF}=l$이다.

$\overline{CF'}=6-\overline{FC}=6-l$이다.

 

직선 $PC$는 각 $F'PF$의 이등분선이므로 $\overline{PF'}:\overline{PF}=\overline{F'C}:\overline{CF}$가 성립한다.

$8-2x:2x=6-l:l$에서 $2x(6-l)=(8-2x)l$이고 $l=\dfrac{3}{2}x$

 

$\overline{CQ}^2=\overline{CP}^2-\overline{PQ}^2=\overline{CF'}^2-\overline{QF'}^2$

$l^2-x^2=(6-l)^2-(8-3x)^2$

$l=\dfrac{3}{2}x$를 대입해 정리하면 다음 이차방정식을 얻는다.

$4x^2-15x+14=(4x-7)(x-2)=0$

$x=2$이면 $\overline{PF}=\overline{PF'}=4$가 되어 점 $P$가 $y$축 위에 있어야하므로 불가능하다.

$\therefore x=\dfrac{7}{4}$, $l=\dfrac{21}{8}$

 

$24\times\overline{CP}=24\times\dfrac{21}{8}=63$