[210430] 2021년 4월 학평 미적분 30번

함수 $f(x)$를 $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}$ ($a$, $b$는 양의 상수)라 하자. 자연수 $m$에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$의 실근의 개수를 $c_m$이라 할 때, $c_k=5$인 자연수 $k$가 존재한다. $k+\displaystyle\sum^\infty_{m=1}(c_m-1)$의 값을 구하시오.

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$\pm1$을 기준으로 $x$의 범위를 나누어 $f(x)$의 값을 구해보자.

 

i) $|x|>1$

$\begin{align*}f(x)&=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a+bx^{-1}+x^{-2n+1}}{1+2x^{-2n}}\\&=\dfrac{a+bx^{-1}+0}{1+0}\\&=a+\dfrac{b}{x}\end{align*}$

 

ii) $|x|<1$

$\begin{align*}f(x)&=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}\\&=\dfrac{0+0+x}{0+2}\\&=\dfrac{x}{2}\end{align*}$

 

iii) $x=1$

$\begin{align*}f(x)&=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}\\&=\dfrac{a+b+1}{1+2}\\&=\dfrac{a+b+1}{3}\end{align*}$

 

iv) $x=-1$

$\begin{align*}f(x)&=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}\\&=\dfrac{a-b-1}{1+2}\\&=\dfrac{a-b-1}{3}\end{align*}$

 

$\therefore f(x)=\begin{cases}a+\dfrac{b}{x} &(|x|>1)\\ \dfrac{x}{2} &(|x|<1)\\ \dfrac{a+b+1}{3}&(x=1)\\ \dfrac{a-b-1}{3}&(x=-1)\end{cases}$

 

 

$g(x)=2(x-1)+k$은 $(1,k)$을 지나고 기울기가 $2$인 직선이다.

$(-\infty,-1)$, $(-1,1)$, $(1,\infty)$의 각 구간에서 $f(x)$와 $g(x)$는 많아야 한 번 만난다.

따라서 $c_k=5$인 $k$에 대해 $g(x)$는 $(1,f(1))$과 $(-1,f(-1))$을 지나야한다.

$2=\dfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\dfrac{\dfrac{2}{3}(b+1)}{2}$에서 $b=5$

$f(1)=g(1)$에서 $\dfrac{a}{3}+2=k$

 

충분히 큰 $c\in\mathbb{R}$에 대해 $f(c)<g(c)$, $f(-c)>g(-c)$이므로 $f(x)$와 $g(x)$가 $(-\infty,-1)$, $(1,\infty)$에서 만나기 위해서는 $\displaystyle\lim_{x\to-1-}f(x)<g(-1)$, $\displaystyle\lim_{x\to1+}f(x)>g(1)$을 만족해야한다.

마찬가지로 $\displaystyle\lim_{x\to1-}f(x)=\dfrac{1}{2}<k=g(1)$이므로 $(-1,1)$에서 만나려면 $\displaystyle\lim_{x\to-1+}f(x)>g(-1)$을 만족해야한다.

여기서 다음 세 식을 얻는다.

$a-5<\dfrac{a}{3}-2$, $a+5>\dfrac{a}{3}+2$, $-\dfrac{1}{2}>\dfrac{a}{3}-2$

$a<\dfrac{9}{2}$, $a>-\dfrac{9}{2}$, $a<\dfrac{9}{2}$

$\therefore 0<a<\dfrac{9}{2}$

 

$k=\dfrac{a}{3}+2\in\mathbb{N}$이므로 $a=k=3$이어야한다.

 

$\therefore f(x)=\begin{cases}3+\dfrac{5}{x} &(|x|>1)\\ \dfrac{x}{2} &(|x|<1)\\ 3&(x=1)\\ -1&(x=-1)\end{cases}$

 

 

이제 $f(x)=2(x-1)+m$의 실근의 개수 $c_m$을 구해보자.

 

i) $m=1, 2$

$(-1,1)$, $(1,\infty)$에서 하나씩 교점을 가진다.

$c_m=2$

 

ii) $m=3$

$c_3=5$

 

iii) $4\le m\le7$

$(-\infty,-1)$, $(1,\infty)$에서 하나씩 교점을 가진다.

$c_m=2$

 

iv) $m>8$

$(-\infty,-1)$에서 교점을 하나 가진다.

$c_m=1$

 

$k+\displaystyle\sum^\infty_{m=1}(c_m-1)=3+1+1+4+1\times4=13$