[180930] 18 수능 9월 모평 가형 30번

함수 $f(x)=\ln (e^x+1)+2e^x$에 대하여 이차함수 $g(x)$와 실수 $k$는 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $h(x)=|g(x)-f(x-k)|$는 $x=k$에서 최솟값 $g(k)$를 갖고, 닫힌구간 $[k-1,k+1]$에서 최댓값 $2e+\ln \left({\displaystyle \frac{1+e}{\sqrt{2}}}\right)$를 갖는다.

$g^{\prime }(k-{\displaystyle \frac{1}{2}})$의 값을 구하시오. (단, ${\displaystyle \frac{5}{2}}<e<3$이다.)

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$h(x+k)=|g(x+k)-f(x)|$를 생각해보자.

 

$g(x+k)$는 이차식이 되고, $g(x)$가 특정되지 않았으므로 $g(x+k)$를 $g(x)$로 바꾸어 써도 된다.

 

그럼 이 문제는 다음과 같이 바뀐다.

 

주어진 함수 $f(x)$와 이차함수 $g(x)$가 다음을 만족시킨다. 함수 $h(x)=|g(x)-f(x)|$는 $x=0$에서 최솟값 $g(0)$을 갖고, 닫힌구간 $[-1,1]$에서 최댓값 $2e+\ln \left({\displaystyle \frac{1+e}{\sqrt{2}}}\right)$를 갖는다. $g^{\prime }(-{\displaystyle \frac{1}{2}})$의 값을 구하시오.

 

$h(0)=|g(0)-f(0)|=g(0)$에서 $f(0)=2+\ln 2$이므로 $g(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}f(0)=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2$

 

$g(x)=x(ax+b)+1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2$로 두자.

 

 

$h(x)$가 $0$보다 큰 최솟값을 가지므로 $g(x)-f(x)$는 실수 전체에서 부호가 일정해야하고 따라서 $h(x)=f(x)-g(x)$

 

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0}$이므로 $h(x)$의 부호가 바뀌지 않으려면 $g(x)$의 최고차항의 계수가 음수여야한다.

 

 

$h(x)$는 미분 가능하고 $x=0$에서 최솟값을 가지므로 $h^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)-g^{\prime }(0)=0$

 

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}+2e^x$, $f^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}+2={\displaystyle \frac{5}{2}}$이므로

 

$g^{\prime }(x)=2ax+b$에서 $g^{\prime }(0)=b={\displaystyle \frac{5}{2}}$이다.

 

 

$h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}+2e^x-2ax-{\displaystyle \frac{5}{2}}$

 

$x<0$이면 $-2ax<0$, $x>0$이면 $-2ax>0$이고

 

${\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}+2e^x=1-{\displaystyle \frac{1}{e^x+1}}+2e^x$는 증가함수이고 $x=0$일 때 ${\displaystyle \frac{5}{2}}$이므로

 

$x>0$일 때, $h^{\prime }(x)>0$, $x<0$일 때, $h^{\prime }(x)<0$이다.

 

따라서 $[-1,1]$에서 $h(x)$의 최댓값은 $h(1)$ 또는 $h(-1)$이다.

 

 

$h(1)=\ln (e+1)+2e-a-{\displaystyle \frac{5}{2}}-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2$

 

$h(-1)=\ln ({\displaystyle \frac{1}{e}}+1)+{\displaystyle \frac{2}{e}}-a+{\displaystyle \frac{5}{2}}-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2$

 

$\begin{array}{rl}h(1)-h(-1)& =\ln (e+1)-\ln ({\displaystyle \frac{1}{e}}+1)+2e-{\displaystyle \frac{2}{e}}-5\\ & =1+2e-{\displaystyle \frac{2}{e}}-5\\ & =(1-{\displaystyle \frac{2}{e}})+(2e-5)\\ & >0\end{array}$

 

$h(x)$의 최댓값은 $h(1)$이고 $h(1)=2e+\ln \left({\displaystyle \frac{1+e}{\sqrt{2}}}\right)$에서 $a=-{\displaystyle \frac{7}{2}}$를 얻는다.

 

$\therefore g^{\prime }(x)=-7x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$, $g^{\prime }(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=6$