[060320] 2006년 3월 학평 가형 20번

A, B, C, D 4개의 축구팀이 있다. 이들은 각각 다른 모든 팀과 1경기 씩을 치르게 되고, 각각의 팀이 경기에서 이길 확률은 $\dfrac{1}{2}$이다. 경기에서 모두 이기거나, 경기에서 모두 진 팀이 생길 확률을 $\dfrac{n}{m}$($m$, $n$은 서로소인 자연수)이라 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, 비기는 경기는 없다.)

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전승하는 팀이 생길 확률은 전승할 팀을 고른 뒤, 그 팀이 3번의 경기에서 모두 이길 확률이다.

이는 $_4C_1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{2}$이다.

전패하는 팀이 생길 확률도 $\dfrac{1}{2}$이다.

 

전승하는 팀과 전패하는 팀이 동시에 나타날 확률을 구해보자.

전승할 팀, 전패할 팀을 뽑은 뒤, 전승할 팀이 3번 이기고 전패할 팀은 전승팀과의 경기를 제외한 나머지 두 경기를 지면 된다.

$4\cdot3\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{8}$

 

우리가 원하는 확률은 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}$

$\therefore m=5, n=8, m+n=13$