[150921] 15 수능 9월 모평 B형 21번

양수 $t$에 대하여 $\log t$의 정수 부분과 소수 부분을 각각 $f(t)$, $g(t)$라 하자. 자연수 $n$에 대하여 $f(t)=9n\left\{g(t)-\dfrac{1}{3}\right\}-n$을 만족시키는 서로 다른 모든 $f(t)$의 합을 $a_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n^2}$의 값은?

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$0\le g(t)<1$

 

$\dfrac{1}{3}\le g(t)-\dfrac{1}{3}<\dfrac{2}{3}$

 

$0 \le \left\{g(t)-\dfrac{1}{3}\right\} < \dfrac{4}{9}$

 

$0 \le 9n\left\{g(t)-\dfrac{1}{3}\right\} < 4n$

 

$-n\le f(t)=9n\left\{g(t)-\dfrac{1}{3}\right\}-n<3n$

 

$a_n=\displaystyle\sum^{3n-1}_{k=-n}k=\sum^{3n-1}_{k=n+1}k=\dfrac{4n(2n-1)}{2}=4n^2-2n$

 

$\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{4n^2-2n}{n^2}=4$