[150921] 15 수능 9월 모평 B형 21번

양수 $t$에 대하여 $\log t$의 정수 부분과 소수 부분을 각각 $f(t)$, $g(t)$라 하자. 자연수 $n$에 대하여 $f(t)=9n\{g(t)-{\displaystyle \frac{1}{3}}\}-n$을 만족시키는 서로 다른 모든 $f(t)$의 합을 $a_n$이라 할 때, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_n}{n^2}}}$의 값은?

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$0\le g(t)<1$

 

${\displaystyle \frac{1}{3}}\le g(t)-{\displaystyle \frac{1}{3}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}$

 

$0\le \{g(t)-{\displaystyle \frac{1}{3}}\}<{\displaystyle \frac{4}{9}}$

 

$0\le 9n\{g(t)-{\displaystyle \frac{1}{3}}\}<4n$

 

$-n\le f(t)=9n\{g(t)-{\displaystyle \frac{1}{3}}\}-n<3n$

 

$a_n={\displaystyle \sum _{k=-n}^{3n-1}k=\sum _{k=n+1}^{3n-1}k={\displaystyle \frac{4n(2n-1)}{2}}=4n^2-2n}$

 

$\therefore {\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_n}{n^2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{4n^2-2n}{n^2}}=4}$