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문제풀이

[220629] 22 수능 6월 모평 기하 29번

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포물선 y2=8x와 직선 y=2x4가 만나는 점 중 제1사분면 위에 있는 점을 A라 하자. 양수 a에 대하여 포물선 (y2a)2=8(xa)가 점 A를 지날 때, 직선 y=2x4와 포물선 (y2a)2=8(xa)가 만나는 점 중 A가 아닌 점을 B라 하자. 두 점 A, B에서 직선 x=2에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 할 때, AC+BDAB=k이다. k2의 값을 구하시오.


x=2는 포물선 y2=8x의 준선이고, y=2x4x절편을 F라 하면 F(2,0)은 그 초점이 된다. 

 

y2=8xy=2x4가 만나는 두 점 중 A가 아닌 것을 E라 하고, E에서 x=2에 내린 수선의 발을 H라 하자.

(y2a)2=8(xa)y2=8x(a,2a)만큼 평행이동한 포물선이고, y=2x4(a,2a)만큼 평행이동하면 자기자신이 되기 때문에 AB는 각각 EA(a,2a)만큼 평행이동된 점이다.

 

A, Ex좌표를 각각 α, β라 하자.

E(a,2a)만큼 평행이동하면 A가 되므로 αβ=a이다.

A(a,2a)만큼 평행이동하면 B가 되므로 Bx좌표는 α+a=α+(αβ)=2αβ가 된다.

BD=2+2αβ,AC=2+α

 

포물선의 정의에 따라 AF=AC=2+α, EF=EH=2+β

AB=EA=EF+FA=(2+β)+(2+α)=4+α+β

 

k=AC+BDAB=(2+α)+(2+2αβ)(4+α+β)=2(αβ)

 

A, Ey2=8xy=2x4의 교점이므로 α, β(2x4)2=8x의 두 근이다.

식을 정리하면 x26x+4=0이 되고 근과 계수의 관계에서 α+β=6, αβ=4

 

k2=4(αβ)2=4((α+β)24αβ)=80 

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