[210715] 2021년 7월 학평 15번

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$에 대하여 방정식 $f^{\prime }(x)=0$의 서로 다른 세 실근 $\alpha$, $0$, $\beta$ $(\alpha <0<\beta )$가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f(x)=9$는 서로 다른 세 실근을 가진다. (나) $f(\alpha )=-16$

함수 $g(x)=|f^{\prime }(x)|-f^{\prime }(x)$에 대하여 ${\displaystyle {\int }_0^{10}g(x)dx}$의 값은?

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$\alpha$, $0$, $\beta$가 등차수열을 이루므로 $\beta =-\alpha$이다.

$f^{\prime }(x)=4(x-\alpha )x(x+\alpha )=4x^3-4{\alpha }^{2}x$

$f(x)=x^4-2{\alpha }^2{x}^2+C$ ($C$는 적분상수)

 

(가) 조건을 보자.

$f(x)$는 $x=0$에 대칭이므로 $f(x)=9$가 서로 다른 세 실근을 가지려면 $f(0)=C=9$여야한다.

 

(나) 조건에서 $f(\alpha )={\alpha }^4-2{\alpha }^4+9=-16$

${\alpha }^4=25$, $\alpha =-\sqrt{5}$ ($\because \alpha <0$)

$\therefore f(x)=x^4-10x^2+9$

 

$g(x)=|f^{\prime }(x)|-f^{\prime }(x)$는 $f^{\prime }(x)$가 양수이면 $0$, $f^{\prime }(x)$가 음수이면 $-2f^{\prime }(x)$의 값을 가진다.

$f^{\prime }(x)=4x^3-20x=4(x+\sqrt{5})x(x-\sqrt{5})$는 $(-\mathrm{\infty },-\sqrt{5})\cup (0,\sqrt{5})$에서 음수이다.

$\therefore {\displaystyle {\int }_0^{10}g(x)dx={\int }_0^{\sqrt{5}}-2(4x^3-20x)dx=50}$