수학 (8) 썸네일형 리스트형 조건문 : 공허한 참 & 충분조건과 필요조건 조건문에서 전건이 거짓인 경우 그 조건문은 참이 된다. 다시 말해 $p\to q$에서 $p$가 거짓인 경우, $q$가 참이든 거짓이든 $p\to q$은 참이 된다는 것이다. 가령 "내일 날이 맑으면 소풍을 가자"라고 말했다고 해보자. 다음 날이 되어서 날이 맑았을 때 소풍을 갔다면 진실을 이야기 한 것이고 가지 않았다면 거짓말을 한 것이다. 그런데 다음 날이 되어서 비가 온다면? 소풍을 갈 수도 있고 안 갈 수도 있겠지만 어떤 행동을 취하던 거짓말을 한 것은 아니다. "대회에서 우승하면 상금을 드립니다." 우승을 못했어도 상금을 받을 수도 있지 않은가? 물론 못 받는 것이 더 당연해보인다. 하지만 $p\to q$은 $p$로부터 $q$를 얻을 수 있다는 뜻이지 않나? $p$가 거짓이면 이 명제를 통해 알 .. 이차곡선 위의 점의 좌표를 통해 접선의 방정식 구하기 이차곡선 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서 그은 접선의 방정식을 구해보자. 이차곡선의 방정식을 $x$에 대해 미분하면 다음 식을 얻는다. $2Ax+By+Bx\dfrac{dy}{dx}+2Cy\dfrac{dy}{dx}+D+E\dfrac{dy}{dx}=0$ $\therefore\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2Ax+By+D}{Bx+2Cy+E}$ $(x_1, y_1)$에서 그은 접선의 기울기는 $\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(x_1,y_1)}=-\dfrac{2Ax_1+By_1+D}{Bx_1+2Cy_1+E}$이므로 접선의 방정식은 다음과 같다. $y-y_1=\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(x_1,y_1)}(x-x_1)$ $(2Ax_1+By.. 쿠라토프스키 폐포-여집합 문제 Kuratowski's closure-complement problem 위상 공간 $X$의 부분집합에 대해 정의된 폐포(Closure), 여집합을 구하는 연산 $k:A\mapsto \overline{A}$와 $c:A\mapsto A^c$를 생각하자. $A\subset X$에 이 두 연산을 반복해서 적용한다면 서로 다른 집합을 몇 개까지 얻을 수 있을까? 일단 $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$, $(A^c)^c=A$이므로 $kkA=kA$, $ccA=A$이다. 어느 한 연산을 반복해서 적용하면 새로운 집합을 얻을 수 없으므로 두 연산을 번갈아 적용해야 한다. $ckcA=\overline{A^c}^c=\mathrm{int}A$이고 $\overline{\mathrm{int}(\overline{\mathrm{int}A})}=\overline{\ma.. 사건의 독립, 쌍으로 독립, 상호 독립 두 사건 $A$와 $B$에 대해 $A$와 $B$가 서로의 확률에 영향을 미치지 않으면 $A$와 $B$는 서로 독립이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다. $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B)$, $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)$ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$이 성립하면 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이다. 세 사건의 독립을 정의하려면 어떻게 해야할까? 단순하게 생각하면 위의 식을 일반화하여 $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$을 생각해볼 수 있다. 하지만 다음 경우를 보면 이 조건만으로는 독립이라고 부르기엔 부족하다. $x,y,z$가 $0$ 또는 $1$의 값을 가지는 순서쌍 $(x,y,z)$에 대해 각.. 정리 관련 용어들 Thm Prop Lemma Cor 참으로 증명된 명제 중 중요한 것들을 정리(Theorem / Thm)라고 부른다. 정리라고 부를 만큼 중요하지 않으면 그냥 중립적으로 명제(Proposition / Prop)이라고 표현한다. 보조 정리(Lemma / Lem)는 정리를 증명하기 위해서 사용되는 또 다른 정리를 말한다. 정리를 증명하기 위해 사용되는 중간단계들이 보조 정리라고 생각하면 된다. Euclid's lemma나 Zorn's lemma처럼 자주 등장하거나, 그 자체가 수학적으로 중요해서 유명해지기도 한다. 내가 쓰는 보조 정리가 보조 정리라고 부를 만큼 중요하지 않은 것 같다면, 주장(Claim)이라고 가볍게 표현해도 된다. 따름 정리(Corollary / Cor)는 정리의 결과로 자연스럽게 도출되는 다른 정리들을 부르는 용어다. 따.. 바나흐 고정점 정리 Banach Fixed-Point Thm 거리 함수 $d$를 가지는 거리 공간(metric space) $X$에서 정의된 함수 $\varphi$에 대하여 $\forall x, y \in X, d(\varphi(x),\varphi(y))\le c \cdot d(x,y)$을 만족하는 $c 행렬로 유리함수의 역함수 구하기 두 다항식의 비로 표현되는 함수를 유리함수라고 부른다. 그중 고등학교 과정에서 다루는 것은 일차식의 비로 나타나는 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 꼴이다. 이를 연립방정식으로 표현하면 다음과 같다. $\begin{cases} ax+b=ky \\ cx+d=k \end{cases}$ 여기서 $k$는 $0$이 아닌 임의의 실수이다. 이 연립방정식을 행렬로 표현해보자. $ \left[ {\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ 1 \end{array}} \right] = k \left[ {\begin{array}{c} y \\ 1 \end{array}} \right]$ $ad-bc\ne0$이면 .. 자연상수 e의 급수 표현과 무리수 증명 자연로그의 밑인 $e$를 흔히 자연상수라고 부른다. 오일러 수라고도 부르지만 오일러 이름이 붙은 수가 너무 많아서 잘 쓰이진 않는 명칭이다. $e$는 다양하게 정의될 수 있지만 다음의 두 가지 정의가 가장 흔하게 쓰인다. $e=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n, \quad e=\sum^\infty_{n=0}\frac{1}{n!}$ $e^x$의 테일러 급수를 안다면 $e$의 급수 표현은 쉽게 유도할 수 있지만 고등학교 범위에서도 증명할 수 있다. 이번 포스트에서는 두 정의가 같다는 것을 보이고, 급수 표현을 통해 $e$가 무리수임을 보일 것이다. $a_n=(1+\frac{1}{n})^n, \quad b_n=\displaystyle\sum^{.. 이전 1 다음