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문제풀이

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[151030] 2015년 10월 학평 A형 30번 양의 실수 $x$에 대하여 $\log{x}$의 소수 부분을 $f(x)$라 하자. 다음 조건을 만족시키는 $a$와 $n$에 대하여 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. (가) $f(a)=f(a^{2n})$ (나) $(n+1)\log{a}=3n^2-4n+4$ (가) 조건에서 $\log{a}$와 $\log{a^{2n}}$의 소수 부분이 같으므로 $\log{a^{2n}}-\log{a}=(2n-1)\log{a}\in\mathbb{N}$이다. 어떤 $k\in\mathbb{N}$에 대하여 $\log{a}=\frac{k}{2n-1}$이 성립한다. (나) 조건에 이를 대입하자. $(n+1)\frac{k}{2n-1} = 3n^2-4n+4$ $k(n+1)=(2n-1)(3n^2-4n+4)$ 이를 만족하는 $k\in\ma..
[210930] 21 수능 9월 모평 가형 30번 다음 조건을 만족시키는 실수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $-e^{-x+1}\le ax+b \le e^{x-2}$ 이 성립한다. $|M\times m^3| = \frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) $f(x)=-e^{-x+1}, g(x)=e^{x-2}$라 하자. 조건의 부등식이 성립하기 위해선 $y=ax+b$가 나타내는 직선이 $y=f(x), y=g(x)$의 그래프 사이에 있어야 한다. 이는 이 직선이 기울기가 같은 $y=f(x)$의 접선의 위에, 그리고 기울기가 같은 $y=g(x)$의 접선의 아래에 있다는 뜻이다. $f'(x)=e^{-x+1}, \qu..
[201130] 20 수능 가형 30번 양의 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=t^3 ln(x-t)$가 곡선 $y=2e^{x-a}$과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 $a$의 값을 $f(t)$라 하자. $\{f'(\frac{1}{3})\}^2$의 값을 구하시오. $y=2e^{x-a}$은 $y=2e^{x}$을 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동시킨 곡선이다. $x$축 방향으로 평행이동시켜 두 곡선이 한 점에서 만나기 위해서는, 두 곡선의 역함수의 차의 최솟값만큼만 평행이동시키면 된다. 두 곡선의 역함수는 각각 $x=e^{\frac{y}{t^3}}+t$, $x=lny-ln2$이므로 $f(t)=\displaystyle\min_{y} (e^{\frac{y}{t^3}}+t-lny+ln2)$ $g(y)=e^{\frac{y}{t^3}}+t-lny+ln..
[211229] 21 수능 나형 29번 숫자 3, 3, 4, 4, 4가 하나씩 적힌 5개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다. 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적힌 수가 3이면 주사위를 3번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합을 점수로 하고, 꺼낸 공에 적힌 수가 4이면 주사위를 4번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합을 점수로 한다. 이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 10점일 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 주머니에서 공을 꺼냈을 때, 적힌 수가 3일 확률은 $\frac{2}{5}$이고, 4일 확률은 $\frac{3}{5}$이다. 주사위를 3번 던져서 눈의 수의 합이 ..
[211229] 21 수능 가형 29번 네 명의 학생 A, B, C, D에게 검은색 모자 6개와 흰색 모자 6개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.) (가) 각 학생은 1개 이상의 모자를 받는다. (나) 학생 A가 받는 검은색 모자의 개수는 4 이상이다. (다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생은 A를 포함하여 2명뿐이다. (나) 조건에서 학생 A는 검은색 모자를 4개 이상 받아야하고, (다) 조건에서 검은색 모자를 받은 학생은 둘 이상이 되므로 학생 A가 받는 검은색 모자의 수는 4개 혹은 5개 입니다. 따라서 네 학생에게 검은색 모자는 $(4,2,0,0), (4,1,1,0), (5,1,0,0)$ 세 경우 중 하나로 분배되어야합니다. i) 검은색 모..

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