[210430] 2021년 4월 학평 확률과통계 30번
다음 조건을 만족시키는 $14$ 이하의 네 자연수 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$의 모든 순서쌍 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$의 개수를 구하시오. (가) $x_1+x_2+x_3+x_4=34$ (나) $x_1$과 $x_3$은 홀수이고, $x_2$와 $x_4$는 짝수이다. $0\le k_1,k_2,k_3,k_4\le6$에 대해 $x_1=2k_1+1$, $x_2=2k_2+2$, $x_3=2k_3+1$, $x_4=2k_4+2$로 둘 수 있다. (가) 조건에 이를 대입하자. $x_1+x_2+x_3+x_4=(2k_1+1)+(2k_2+2)+(2k_3+1)+(2k_4+2)=2(k_1+k_2+k_3+k_4)+6=34$ $k_1+k_2+k_3+k_4=14$ 이를 만족하는 순서쌍 $(k_1,k_2,k_..
[210329] 2021년 3월 학평 확률과통계 29번
$5$ 이하의 자연수 $a,b,c,d$에 대하여 부등식 $a\le b+1\le c\le d$를 만족시키는 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수를 구하시오. $b+1$은 $c$보다 작거나 같으므로 $5$ 이하이다. $5$ 이하의 자연수에서 $a, b+1,c,d$가 될 4개의 자연수를 중복을 포함해 뽑는 경우의 수는 $_5H_4$이다. 이때, $b+1=1$이면 $b=0$이 되어 불가능하다. 이 경우는 $a=b+1=1$일 때, 즉 $5$ 이하의 자연수에서 $c,d$가 될 2개의 자연수를 중복을 포함해 뽑는 $_5H_2$의 경우의 수가 있다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $_5H_4-_5H_2=_8C_4-_6C_2=70-15=55$
[210328] 2021년 3월 학평 확률과통계 28번
두 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$, $Y=\{2,4,6,8,10,12\}$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 함수 $f$ 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수는? (가) $f(2)f(5)$ $f(3)$은 그보다 작고 큰 값이 존재해야하므로 $4, 6,8,10,12$ 중 하나가 되어야한다. $f(3)$의 값이 결정되면 그보다 작은 값 중 $f(2), f(5)$가 될 값을 중복을 포함해 2개를 뽑고, 그보다 큰 값 중 $f(1),f(4)$가 될 값을 중복을 포함해 2개를 뽑으면 된다. 예를 들어, $f(3)=4$이면 $f(2),f(5)$는 무조건 $2$가 되어야하고, $f(1),f(4)$는 $6,8,10,12$에서 중복을 포함해 2개를 고르면 되므로 16가지 경우의 수가 있다. 이와 마찬가지로 $f..