문제풀이

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[220630] 22 수능 6월 모평 미적분 30번

$t>\dfrac{1}{2}\ln2$ 인 실수

$t$ 에 대하여 곡선

$y=\ln(1+e^{2x}-e^{-2t})$ 과 직선

$y=x+t$ 가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를

$f(t)$ 라 할 때,

$f'(\ln2)=\dfrac{q}{p}\sqrt2$ 이다.

$p+q$ 의 값을 구하시오. (단,

$p$ 와

$q$ 는 서로소인 자연수이다.) 주어진 두 함수 모두

$x=-t$ 에서의 함수 값이 0이므로 만나는 두 점 중 하나는

$(-t,0)$ 이다.

$\ln(1+e^{2x}-e^{-2t})=x+t$

$1+e^{2x}-e^{-2t}=e^{x+t}$

$e^{2x}-e^{x+t}-e^{-2t}+1=0$ 이 식을

$e^x$ 에 대한 이차식으로 보고 인수분해하자. 교점 중 하나의

$x$ 좌표가

$-t$ 이므로

$e^x-e^{-t}$ ..

[191130] 19 수능 가형 30번 최고차항의 계수가

$6\pi$ 인 삼차함수

$f(x)$ 에 대하여 함수

$g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}$ 이

$x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소이고,

$\alpha\ge0$ 인 모든

$\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

$\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5,\cdots$ 라 할 때,

$g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가)

$\alpha_1=0$ 이고

$g(\alpha_1)=\dfrac{2}{5}$ 이다. (나)

$\dfrac{1}{g(\alpha_5)}=\dfrac{1}{g(\alpha_2)}+\dfrac{1}{2}$

$g'(-\dfrac{1}{2})=a\pi$ 라 할 때,

$a^2$ 의 값을 구하시오. (단, $0f(\alp..

[141129] 14 수능 B형 29번 좌표공간에서 구

$x^2+y^2+z^2=4$ 위를 움직이는 두 점

$P$ ,

$Q$ 가 있다. 두 점

$P$ ,

$Q$ 에서 평면

$y=4$ 에 내린 수선의 발을 각각

$P_1$ ,

$Q_1$ 이라 하고, 평면

$y+\sqrt3z+8=0$ 에 내린 수선의 발을 각각

$P_2$ ,

$Q_2$ 라 하자.

$2|\overrightarrow{PQ}|^2-|\overrightarrow{P_1Q_1}|^2-|\overrightarrow{P_2Q_2}|^2$ 의 최댓값을 구하시오. 평면

$y=4$ 와 평면

$y+\sqrt3z+8=0$ 의 법선벡터는 각각

$(0,1,0)$ ,

$(0,1,\sqrt3)$ 이므로 두 평면이 이루는 각을

$\theta$ 라 하면 $\cos\theta=\dfrac{(0,1,0)\cdot(0,1,\sqrt3)}{|(0,1..

[150921] 15 수능 9월 모평 B형 21번 양수

$t$ 에 대하여

$\log t$ 의 정수 부분과 소수 부분을 각각

$f(t)$ ,

$g(t)$ 라 하자. 자연수

$n$ 에 대하여

$f(t)=9n\left\{g(t)-\dfrac{1}{3}\right\}-n$ 을 만족시키는 서로 다른 모든

$f(t)$ 의 합을

$a_n$ 이라 할 때,

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n^2}$ 의 값은? $0\le g(t)

[060320] 2006년 3월 학평 가형 20번 A, B, C, D 4개의 축구팀이 있다. 이들은 각각 다른 모든 팀과 1경기 씩을 치르게 되고, 각각의 팀이 경기에서 이길 확률은

$\dfrac{1}{2}$ 이다. 경기에서 모두 이기거나, 경기에서 모두 진 팀이 생길 확률을

$\dfrac{n}{m}$ (

$m$ ,

$n$ 은 서로소인 자연수)이라 할 때,

$m+n$ 의 값을 구하시오. (단, 비기는 경기는 없다.) 전승하는 팀이 생길 확률은 전승할 팀을 고른 뒤, 그 팀이 3번의 경기에서 모두 이길 확률이다. 이는

$_4C_1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{2}$ 이다. 전패하는 팀이 생길 확률도

$\dfrac{1}{2}$ 이다. 전승하는 팀과 전패하는 팀이 동시에 나타날 확률을 구해보자. 전승할 팀, 전패할 팀을 뽑은 ..

[161030] 2016년 10월 학평 가형 30번

$1$ 부터

$9$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는

$9$ 개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때,

$i$ 번째(

$i=1,2,\cdots,9$ ) 꺼낸 공에 적혀 있는 수를

$a_i$ 라 하자. $1

[130727] 2013년 7월 학평 B형 27번 남학생 4명, 여학생 2명이 간격이 일정한 9개의 자리가 있는 원탁에 다음 두 조건에 따라 앉으려고 할 때, 앉을 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) 남학생, 여학생 모두 같은 성별끼리 2명씩 조를 만든다. (나) 서로 다른 두 개의 조 사이에 반드시 한 자리를 비워둔다. 6명이 2명씩 조를 이루어 함께 앉고 조끼리 한 자리씩 띄워 앉으므로 3개의 빈 자리가 필요하다. 학생들이 앉는 6개의 자리와 빈 3개의 자리를 합하면 모든 자리를 사용하게 된다. 학생들은 (남, 남, 여)의 3개 조로 나뉘는데 조를 어떻게 배치해도 회전하면 똑같은 배치가 된다. 이제 남학생 4명과 여학생 2명을 각각 배열하면 되므로 경우의 수는

$4!\times2!=48$

[150730] 2015년 7월 학평 A형 30번 검은 바둑돌과 흰 바둑돌을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은

$\LARGE\bullet\,\bullet$ ,

$\LARGE\bullet\,\circ$ ,

$\LARGE\circ\,\bullet$ ,

$\LARGE\circ\,\circ$ 으로 4가지이다. 예를 들어, 6개의 바둑돌을 2번, 1번, 1번, 1번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는

$\LARGE\bullet\bullet\circ\circ\bullet\,\bullet$ ,

$\LARGE\circ\bullet\bullet\bullet\circ\,\circ$ ,

$\LARGE\circ\circ\bullet\bullet\bullet\,\circ$ , $\LARGE\bullet\bullet\bullet\circ\c..

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