문제풀이 (53) 썸네일형 리스트형 [210322] 2021 3월 학평 22번 양수 $a$와 일차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=\displaystyle\int^x_0(t^2-4)(|f(t)|-a)dt$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$는 극값을 갖지 않는다. (나) $g(2)=5$ $g(0)-g(-4)$의 값을 구하시오. (가) 조건에서 $g'(x)=(x^2-4)(|f(x)|-a)$의 부호가 변하지 않아야한다. $x^2-4$는 $\pm2$에서 부호가 변하므로 $|f(x)|-a$도 $\pm2$에서 부호가 변해야한다. $|f(x)|-a=\begin{cases}m(x-2) \quad\,\,\,\,\, (x\ge0)\\ -m(x+2) \quad (x [210328] 2021년 3월 학평 미적분 28번 자연수 $n$에 대하여 $\angle A=90^{\circ}$, $\overline{AB}=2$, $\overline{CA}=n$인 삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 선분 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 선분 $CD$의 길이를 $a_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n-a_n)$의 값은? $\overline{BC}=\sqrt{n^2+4}$ 각의 이등분선의 성질에 의해 $a_n=\overline{CD}=\dfrac{n}{n+2}\sqrt{n^2+4}$ $\begin{align*}\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n-a_n)&=n-\dfrac{n}{n+2}\sqrt{n^2+4}\\&=n(\dfrac{n+2-\sqrt{n.. [210330] 2021년 3월 학평 기하 30번 두 초점이 $F(c,0)$, $F'(-c,0)$ $(c>0)$이고 장축의 길이가 12인 타원이 있다. 점 $F$가 초점이고 직선 $x=-k$ $(k>0)$이 준선인 포물선이 타원과 제2사분면의 점 $P$에서 만난다. 점 $P$에서 직선 $x=-k$에 내린 수선의 발을 $Q$라 할 때, 두 점 $P$, $Q$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\cos(\angle F'FP)=\dfrac{7}{8}$ (나) $\overline{FP}-\overline{F'Q}=\overline{PQ}-\overline{FF'}$ $c+k$의 값을 구하시오. 포물선의 정의에 따라 $\overline{PQ}=\overline{FP}$이다. (나) 조건에 의해 $\overline{F'Q}=\overline{FF'}$ 사각형 $.. [210329] 2021년 3월 학평 기하 29번 두 초점이 $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$ $(c>0)$인 타원이 $x$축과 두 점 $A(3,0)$, $B(-3,0)$에서 만난다. 선분 $BO$가 주축이고 점 $F_1$이 한 초점인 쌍곡선의 초점 중 $F_1$이 아닌 점을 $F_3$이라 하자. 쌍곡선이 타원과 제1사분면에서 만나는 점을 $P$라 할 때, 삼각형 $PF_2F_3$의 둘레의 길이를 구하시오. (단, $O$는 원점이다.) $\overline{F_3B}=\overline{OF_1}=\overline{F_2O}$이므로 $\overline{F_3F_2}=\overline{BO}=3$이다. 주어진 쌍곡선의 주축의 길이가 $3$이고, 주어진 타원의 장축의 길이가 $6$이므로 점 $P$에 대해 다음이 성립한다. $\overline{F_3P}.. [210328] 2021년 3월 학평 기하 28번 자연수 $n$에 대하여 초점이 $F$인 포물선 $y^2=2x$ 위의 점 $P_n$이 $\overline{FP_n}=2n$을 만족시킬 때, $\displaystyle\sum^8_{n=1}\overline{OP_n}^2$의 값은? (단, $O$는 원점이고, 점 $P_n$은 제1사분면에 있다.) 주어진 포물선의 준선은 $x=-\dfrac{1}{2}$이다. 포물선 위의 점은 초점과의 거리와 준선까지의 거리와 같으므로 $P_n$의 $x$좌표는 $2n-\dfrac{1}{2}$이다. $P_n$의 좌표를 $(x_n,y_n)$이라고 하면 $\overline{OP_n}=x_n^2+y_n^2=x_n^2+2x_n=(2n-\dfrac{1}{2})^2+2(2n-\dfrac{1}{2})=4n^2+2n-\dfrac{3}{4}$ $\.. [210315] 2021년 3월 학평 15번 $\overline{AB}=5$, $\overline{BC}=4$, $\cos(\angle ABC)=\dfrac{1}{8}$인 삼각형 $ABC$가 있다. $\angle ABC$의 이등분선과 $\angle CAB$의 이등분선이 만나는 점을 $D$, 선분 $BD$의 연장선과 삼각형 $ABC$의 외접원이 만나는 점을 $E$라 할 때, 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\overline{AC}=6$ ㄴ. $\overline{EA}=\overline{EC}$ ㄷ. $\overline{ED}=\dfrac{31}{8}$ 삼각형 $ABC$에 코사인 법칙을 적용하면 $\overline{AC}^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cdot\cos(\angle ABC)=36$ $\therefore \.. [210329] 2021년 3월 학평 미적분 29번 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $P_n(2n,4n^2)$에서의 접선과 수직이고 점 $Q_n(0,2n^2)$을 지나는 직선을 $l_n$이라 하자. 점 $P_n$을 지나고 점 $Q_n$에서 직선 $l_n$과 접하는 원을 $C_n$이라 할 때, 원점을 지나고 원 $C_n$의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 $a_n$이라 하자. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n}$의 값을 구하시오. $(x^2)'=2x$이므로 $P_n$에서의 $y=x^2$의 접선의 기울기는 $4n$이다. $C_n$의 중심과 $Q_n$을 지나는 직선은 $l_n$과 수직이므로 그 기울기는 위의 접선과 같은 $4n$이다. 따라서 그 직선의 방정식은 $y=4nx+2n^2$이다. 그리.. [210330] 2021년 3월 학평 미적분 30번 자연수 $n$에 대하여 삼차함수 $f(x)=x(x-n)(x-3n^2)$이 극대가 되는 $x$를 $a_n$이라 하자. $x$에 대한 방정식 $f(x)=f(a_n)$의 근 중에서 $a_n$이 아닌 근을 $b_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_nb_n}{n^3}=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) $f(x)$가 $a_n$에서 극댓값을 가지고, 그 값이 $b_n$에서의 함수값과 같으므로 $f(x)=(x-a_n)^2(x-b_n)+c$ ($c$는 상수)로 둘 수 있다. $x(x-n)(x-3n^2)=(x-a_n)^2(x-b_n)+c$에서 이차항끼리 비교하면 $2a_n+b_n=3n^2+n$을 .. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음