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문제풀이

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[180930] 18 수능 9월 모평 가형 30번 함수 $f(x)=\ln(e^x+1)+2e^x$에 대하여 이차함수 $g(x)$와 실수 $k$는 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $h(x)=|g(x)-f(x-k)|$는 $x=k$에서 최솟값 $g(k)$를 갖고, 닫힌구간 $[k-1,k+1]$에서 최댓값 $2e+\ln\left(\dfrac{1+e}{\sqrt2}\right)$를 갖는다. $g'\left(k-\dfrac{1}{2}\right)$의 값을 구하시오. (단, $\dfrac{5}{2}0$, $x
[180621] 18 수능 6월 모평 가형 21번 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$에 대하여 $F(x)=\ln|f(x)|$라 하고, 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$에 대하여 $G(x)=\ln|g(x)\sin x|$라 하자. $\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)F'(x)=3$, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{F'(x)}{G'(x)}=\dfrac{1}{4}$일 때, $f(3)+g(3)$의 값은? 로피탈의 정리를 활용해 극한에 등장하는 $F'(x)$를 $F(x)$로 바꾸자. $\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)F'(x)&=\lim_{x\to1}\dfrac{F'(x)}{\frac{1}{x-1}}\\&=\lim_{x\to1}\dfrac{F(x..
[210429] 2021년 4월 학평 기하 29번 좌표평면 위에 네 점 $A(-2,0)$, $B(1,0)$, $C(2,1)$, $D(0,1)$이 있다. 반원의 호 $(x+1)^2+y^2=1$ $(0\le y\le1)$ 위를 움직이는 점 $P$와 삼각형 $BCD$ 위를 움직이는 점 $Q$에 대하여 $|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}|$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M^2+m^2=p+2\sqrt q$일 때, $p\times q$의 값을 구하시오. (단, $O$는 원점이고, $p$와 $q$는 유리수이다.) $P$, $Q$의 좌표를 $P(-1+\cos\theta,\sin\theta)$, $Q(a,b)$로 잡자. ($0\le\theta\le\pi$) $\overrightarrow{OP}+\overrigh..
[210430] 2021년 4월 학평 미적분 30번 함수 $f(x)$를 $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}$ ($a$, $b$는 양의 상수)라 하자. 자연수 $m$에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$의 실근의 개수를 $c_m$이라 할 때, $c_k=5$인 자연수 $k$가 존재한다. $k+\displaystyle\sum^\infty_{m=1}(c_m-1)$의 값을 구하시오.$\pm1$을 기준으로 $x$의 범위를 나누어 $f(x)$의 값을 구해보자. i) $|x|>1$$\begin{align*}f(x)&=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}\\&=\lim_{n\to\inf..
[210430] 2021년 4월 학평 기하 30번 두 초점이 $F(c,0)$, $F'(-c,0)$ $(c>0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점 $P$에 대하여 직선 $FP$와 직선 $F'P$에 동시에 접하고 중심이 선분 $FF'$ 위에 있는 원 $C$가 있다. 원 $C$의 중심을 $C$, 직선 $F'P$가 원 $C$와 만나는 점을 $Q$라 할 때, $2\overline{PQ}=\overline{PF}$이다. $24\times\overline{CP}$의 값을 구하시오. (단, 점 $P$는 제$1$사분면 위의 점이다.) $c=3$임은 쉽게 알 수 있다. $\overline{PF}$와 원 $C$가 접하는 점을 $R$이라 하고 $\overline{PQ}=x$, $\overline{PC}=l$로 두자. $\over..
[210428] 2021년 4월 학평 기하 28번 좌표평면에서 두 점 $F\left(\dfrac{9}{4},0\right)$, $F'(-c,0)$ $(c>0)$을 초점으로 하는 타원과 포물선 $y^2=9x$가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $P$라 하자. $\overline{PF}=\dfrac{25}{4}$이고 포물선 $y^2=9x$ 위의 점 $P$에서의 접선이 점 $F'$을 지날 때, 타원의 단축의 길이는? 주어진 포물선의 준선의 방정식은 $x=-\dfrac{9}{4}$이고 $F$는 포물선의 초점이 된다. 포물선의 정의에 의해 $\overline{PF}$는 준선으로부터 $P$까지의 거리이므로 $P$의 $x$좌표는 $\dfrac{25}{4}-\dfrac{9}{4}=4$이다. 점 $P$는 $y^2=9x$ 위에 있고 제$1$사분면의 점이므로 $P$의 좌표는..
[210428] 2021년 4월 학평 미적분 28번 길이가 $4$인 선분 $A_1B_1$을 지름으로 하는 원 $O_1$이 있다. 원 $O_1$의 외부에 $\angle B_1A_1C_1=\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{A_1B_1}:\overline{A_1C_1}=4:3$이 되도록 점 $C_1$을 잡고 두 선분 $A_1C_1$, $B_1C_1$을 그린다. 원 $O_1$과 선분 $B_1C_1$의 교점 중 $B_1$이 아닌 점을 $D_1$이라 하고, 점 $D_1$을 포함하지 않는 호 $A_1B_1$과 두 선분 $A_1D_1$, $B_1D_1$으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자. 그림 $R_1$에서 호 $A_1D_1$과 두 선분 $A_1C_1$, $C_1D_1$에 동시에 접하는 원 $O_2$를 그리고 선분 $A_1C_..
[210429] 2021년 4월 학평 미적분 29번 $\angle BAC=\dfrac{2}{3}\pi$이고 $\overline{AB}>\overline{AC}$인 삼각형 $ABC$가 있다. $\overline{BD}=\overline{CD}$인 선분 $AB$ 위의 점 $D$에 대하여 $\angle CBD= \alpha$, $\angle ACD = \beta$라 하자. $\cos^2\alpha=\dfrac{7+\sqrt{21}}{14}$일 때, $54\sqrt3\times\beta$의 값을 구하시오. $\angle DCB = \angle DBC = \alpha$이고 $\angle ADC = \angle DBC + \angle DCB = 2\alpha$ $\beta=2\pi-(\dfrac{2}{3}\pi+2\alpha)=\dfrac{\pi}{3}-2\alph..

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