문제풀이 (53) 썸네일형 리스트형 [210321] 2021년 3월 학평 21번 $\overline{AB}=2$, $\overline{AC}\parallel\overline{BD}$, $\overline{AC}:\overline{BD}=1:2$인 두 삼각형 $ABC$, $ABD$가 있다. 점 $C$에서 선분 $AB$에 내린 수선의 발 $H$는 선분 $AB$를 $1:3$으로 내분한다. 두 삼각형 $ABC$, $ABD$의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $r$, $R$라 할 때, $4(R^2-r^2)\times\sin^2(\angle CAB)=51$이다. $\overline{AC}^2$의 값을 구하시오. (단, $\angle CAB [160930] 16 수능 9월 모평 B형 30번 양의 실수 $a$와 두 실수 $b$, $c$에 대하여 함수 $f(x)=(ax^2+bx+c)e^x$은 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)$는 $x=-\sqrt{3}$과 $x=\sqrt{3}$에서 극값을 갖는다. (나) $0\le x_1\le x_2$인 임의의 두 실수 $x_1$, $x_2$에 대하여 $f(x_1)-f(x_2)+x_2-x_1\ge0$이다. 세 수 $a$, $b$, $c$의 곱 $abc$의 최댓값을 $\dfrac{k}{e^3}$라 할 때, $60k$의 값을 구하시오. $f(x)$가 이차함수와 $e^x$의 곱으로 나타나므로 그 도함수 역시 이차함수와 $e^x$의 곱으로 나타난다. (가) 조건에서 $\pm\sqrt{3}$에서 극값을 가지므로 $f'(x)=a(x^2-3)e^x$이다. $\th.. [110928] 11 수능 9월 모평 가형 미분과적분 28번 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $t$에 대하여 $\displaystyle\int^2_0 xf(tx)dx=4t^2$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은? $\begin{align*}4t^2 &= \displaystyle\int^2_0 xf(tx)dx \\&= \int^2_0 \dfrac{1}{t} tx f(tx) dx\\ &= \dfrac{1}{t^2}\int^{2t}_0xf(x)dx\end{align*}$ $\therefore \displaystyle\int^{2t}_0xf(x)dx = 4t^4$ 양변을 $t$에 대해 미분하면 $4tf(2t)=16t^3$ $f(2t)=4t^2$ $f(t)=t^2$ $\therefore f(2)=4$ [111128] 11 수능 가형 미분과적분 28번 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2x)=2f(x)f'(x)$이고, $f(a)=0$, $\displaystyle\int^{4a}_{2a}\dfrac{f(x)}{x}dx=k$ $(a>0, 0 [211221] 21 수능 가형 21번 수열 $\{a_n\}$은 $0 포항공대 수학경시대회 7회 5번 $a 포항공대 수학경시대회 9회 2번 (1) 두 번 미분 가능한 실함수 $f$가 $f(0)=0$이고 $0$ 이상의 모든 실수 $x$에 대하여 $|f''(x)|\le1$을 만족한다. 임의의 양수 $a$에 대하여 $\dfrac{1}{a}\displaystyle\int^1_0\left\lvert\dfrac{f(ax)}{a}-f'(0)x\right\rvert dx\le\dfrac{1}{3}$임을 보여라. 평균값 정리에 의하여 $\dfrac{f(ax)}{ax}=\dfrac{f(ax)-f(0)}{ax-0}=f'(c_1)$을 만족하는 $c_1\in(0,ax)$가 존재한다. 이 $c_1$에 대해 $\dfrac{f'(c_1)-f'(0)}{c_1}=f''(c_2)$를 만족하는 $c_2\in(0,c_1)$이 존재한다. $\begin{align*}\dfrac{1}{a}.. 포항공대 수학경시대회 7회 4번 (1) $\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{\sin_k(2)}{\sin_k(1)}$을 구하여라. ($\sin_1=\sin, \quad \sin_{n+1}=\sin\circ\sin_{n}$) 임의의 실수 $x\in(0,\pi)$에 대하여, $x_n=\sin_n(x)$로 두자. $x_{n+1}=\sin{x_n}$이고 $0 이전 1 ··· 3 4 5 6 7 다음