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행렬로 유리함수의 역함수 구하기 두 다항식의 비로 표현되는 함수를 유리함수라고 부른다. 그중 고등학교 과정에서 다루는 것은 일차식의 비로 나타나는 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 꼴이다. 이를 연립방정식으로 표현하면 다음과 같다. $\begin{cases} ax+b=ky \\ cx+d=k \end{cases}$ 여기서 $k$는 $0$이 아닌 임의의 실수이다. 이 연립방정식을 행렬로 표현해보자. $ \left[ {\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ 1 \end{array}} \right] = k \left[ {\begin{array}{c} y \\ 1 \end{array}} \right]$ $ad-bc\ne0$이면 ..
[151030] 2015년 10월 학평 A형 30번 양의 실수 $x$에 대하여 $\log{x}$의 소수 부분을 $f(x)$라 하자. 다음 조건을 만족시키는 $a$와 $n$에 대하여 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. (가) $f(a)=f(a^{2n})$ (나) $(n+1)\log{a}=3n^2-4n+4$ (가) 조건에서 $\log{a}$와 $\log{a^{2n}}$의 소수 부분이 같으므로 $\log{a^{2n}}-\log{a}=(2n-1)\log{a}\in\mathbb{N}$이다. 어떤 $k\in\mathbb{N}$에 대하여 $\log{a}=\frac{k}{2n-1}$이 성립한다. (나) 조건에 이를 대입하자. $(n+1)\frac{k}{2n-1} = 3n^2-4n+4$ $k(n+1)=(2n-1)(3n^2-4n+4)$ 이를 만족하는 $k\in\ma..
수학 문제와 풀이는 저작권이 있을까? 수학 문제집을 풀다 보면, 아님 전공서적을 보아도 비슷한 문제들이 여기저기 수록된 걸 쉽게 볼 수 있다. 경우엔 따라서는 정확히 똑같은 문제가 출처 표기도 없이 여러 책에 똑같이 있기도 하다. 이전에도 궁금해서 찾아본 적이 있던 내용인데 블로그를 하는 김에 다시 한번 정리해보았다. 먼저, 수식으로만 이루어진 공식, 정리 등은 저작권이 없다. 몇몇 알고리즘은 저작권이 보장된다고는 하나, 일반적인 전공서적에 수록되는 공식이나 정리들은 문제없이 사용할 수 있다고 보면 된다. 문장으로 서술된 문제는 저작권이 인정된다. 대부분의 문제는 여기에 해당되니 수학 문제 역시 그 저작권이 인정된다고 생각하면 된다. 따라서 원작자의 동의를 구하지 않고 사용하면 저작권 문제에 걸릴 수 있다. 그럼 문제를 올리지 않고 풀이만 ..
자연상수 e의 급수 표현과 무리수 증명 자연로그의 밑인 $e$를 흔히 자연상수라고 부른다. 오일러 수라고도 부르지만 오일러 이름이 붙은 수가 너무 많아서 잘 쓰이진 않는 명칭이다. $e$는 다양하게 정의될 수 있지만 다음의 두 가지 정의가 가장 흔하게 쓰인다. $e=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n, \quad e=\sum^\infty_{n=0}\frac{1}{n!}$ $e^x$의 테일러 급수를 안다면 $e$의 급수 표현은 쉽게 유도할 수 있지만 고등학교 범위에서도 증명할 수 있다. 이번 포스트에서는 두 정의가 같다는 것을 보이고, 급수 표현을 통해 $e$가 무리수임을 보일 것이다. $a_n=(1+\frac{1}{n})^n, \quad b_n=\displaystyle\sum^{..
[210930] 21 수능 9월 모평 가형 30번 다음 조건을 만족시키는 실수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $-e^{-x+1}\le ax+b \le e^{x-2}$ 이 성립한다. $|M\times m^3| = \frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) $f(x)=-e^{-x+1}, g(x)=e^{x-2}$라 하자. 조건의 부등식이 성립하기 위해선 $y=ax+b$가 나타내는 직선이 $y=f(x), y=g(x)$의 그래프 사이에 있어야 한다. 이는 이 직선이 기울기가 같은 $y=f(x)$의 접선의 위에, 그리고 기울기가 같은 $y=g(x)$의 접선의 아래에 있다는 뜻이다. $f'(x)=e^{-x+1}, \qu..
[201130] 20 수능 가형 30번 양의 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=t^3 ln(x-t)$가 곡선 $y=2e^{x-a}$과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 $a$의 값을 $f(t)$라 하자. $\{f'(\frac{1}{3})\}^2$의 값을 구하시오. $y=2e^{x-a}$은 $y=2e^{x}$을 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동시킨 곡선이다. $x$축 방향으로 평행이동시켜 두 곡선이 한 점에서 만나기 위해서는, 두 곡선의 역함수의 차의 최솟값만큼만 평행이동시키면 된다. 두 곡선의 역함수는 각각 $x=e^{\frac{y}{t^3}}+t$, $x=lny-ln2$이므로 $f(t)=\displaystyle\min_{y} (e^{\frac{y}{t^3}}+t-lny+ln2)$ $g(y)=e^{\frac{y}{t^3}}+t-lny+ln..
[211229] 21 수능 나형 29번 숫자 3, 3, 4, 4, 4가 하나씩 적힌 5개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다. 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적힌 수가 3이면 주사위를 3번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합을 점수로 하고, 꺼낸 공에 적힌 수가 4이면 주사위를 4번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합을 점수로 한다. 이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 10점일 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 주머니에서 공을 꺼냈을 때, 적힌 수가 3일 확률은 $\frac{2}{5}$이고, 4일 확률은 $\frac{3}{5}$이다. 주사위를 3번 던져서 눈의 수의 합이 ..
[211229] 21 수능 가형 29번 네 명의 학생 A, B, C, D에게 검은색 모자 6개와 흰색 모자 6개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.) (가) 각 학생은 1개 이상의 모자를 받는다. (나) 학생 A가 받는 검은색 모자의 개수는 4 이상이다. (다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생은 A를 포함하여 2명뿐이다. (나) 조건에서 학생 A는 검은색 모자를 4개 이상 받아야하고, (다) 조건에서 검은색 모자를 받은 학생은 둘 이상이 되므로 학생 A가 받는 검은색 모자의 수는 4개 혹은 5개 입니다. 따라서 네 학생에게 검은색 모자는 $(4,2,0,0), (4,1,1,0), (5,1,0,0)$ 세 경우 중 하나로 분배되어야합니다. i) 검은색 모..

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