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[210330] 2021년 3월 학평 기하 30번 두 초점이

$F(c,0)$ ,

$F'(-c,0)$

$(c>0)$ 이고 장축의 길이가 12인 타원이 있다. 점

$F$ 가 초점이고 직선

$x=-k$

$(k>0)$ 이 준선인 포물선이 타원과 제2사분면의 점

$P$ 에서 만난다. 점

$P$ 에서 직선

$x=-k$ 에 내린 수선의 발을

$Q$ 라 할 때, 두 점

$P$ ,

$Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)

$\cos(\angle F'FP)=\dfrac{7}{8}$ (나)

$\overline{FP}-\overline{F'Q}=\overline{PQ}-\overline{FF'}$

$c+k$ 의 값을 구하시오. 포물선의 정의에 따라

$\overline{PQ}=\overline{FP}$ 이다. (나) 조건에 의해

$\overline{F'Q}=\overline{FF'}$ 사각형 $..

[210329] 2021년 3월 학평 기하 29번 두 초점이

$F_1(c,0)$ ,

$F_2(-c,0)$

$(c>0)$ 인 타원이

$x$ 축과 두 점

$A(3,0)$ ,

$B(-3,0)$ 에서 만난다. 선분

$BO$ 가 주축이고 점

$F_1$ 이 한 초점인 쌍곡선의 초점 중

$F_1$ 이 아닌 점을

$F_3$ 이라 하자. 쌍곡선이 타원과 제1사분면에서 만나는 점을

$P$ 라 할 때, 삼각형

$PF_2F_3$ 의 둘레의 길이를 구하시오. (단,

$O$ 는 원점이다.)

$\overline{F_3B}=\overline{OF_1}=\overline{F_2O}$ 이므로

$\overline{F_3F_2}=\overline{BO}=3$ 이다. 주어진 쌍곡선의 주축의 길이가

$3$ 이고, 주어진 타원의 장축의 길이가

$6$ 이므로 점

$P$ 에 대해 다음이 성립한다. $\overline{F_3P}..

[210328] 2021년 3월 학평 기하 28번 자연수

$n$ 에 대하여 초점이

$F$ 인 포물선

$y^2=2x$ 위의 점

$P_n$ 이

$\overline{FP_n}=2n$ 을 만족시킬 때,

$\displaystyle\sum^8_{n=1}\overline{OP_n}^2$ 의 값은? (단,

$O$ 는 원점이고, 점

$P_n$ 은 제1사분면에 있다.) 주어진 포물선의 준선은

$x=-\dfrac{1}{2}$ 이다. 포물선 위의 점은 초점과의 거리와 준선까지의 거리와 같으므로

$P_n$ 의

$x$ 좌표는

$2n-\dfrac{1}{2}$ 이다.

$P_n$ 의 좌표를

$(x_n,y_n)$ 이라고 하면

$\overline{OP_n}=x_n^2+y_n^2=x_n^2+2x_n=(2n-\dfrac{1}{2})^2+2(2n-\dfrac{1}{2})=4n^2+2n-\dfrac{3}{4}$ $\..

[210315] 2021년 3월 학평 15번

$\overline{AB}=5$ ,

$\overline{BC}=4$ ,

$\cos(\angle ABC)=\dfrac{1}{8}$ 인 삼각형

$ABC$ 가 있다.

$\angle ABC$ 의 이등분선과

$\angle CAB$ 의 이등분선이 만나는 점을

$D$ , 선분

$BD$ 의 연장선과 삼각형

$ABC$ 의 외접원이 만나는 점을

$E$ 라 할 때, 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ.

$\overline{AC}=6$ ㄴ.

$\overline{EA}=\overline{EC}$ ㄷ.

$\overline{ED}=\dfrac{31}{8}$ 삼각형

$ABC$ 에 코사인 법칙을 적용하면

$\overline{AC}^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cdot\cos(\angle ABC)=36$ $\therefore \..

[210329] 2021년 3월 학평 미적분 29번 자연수

$n$ 에 대하여 곡선

$y=x^2$ 위의 점

$P_n(2n,4n^2)$ 에서의 접선과 수직이고 점

$Q_n(0,2n^2)$ 을 지나는 직선을

$l_n$ 이라 하자. 점

$P_n$ 을 지나고 점

$Q_n$ 에서 직선

$l_n$ 과 접하는 원을

$C_n$ 이라 할 때, 원점을 지나고 원

$C_n$ 의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를

$a_n$ 이라 하자.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n}$ 의 값을 구하시오.

$(x^2)'=2x$ 이므로

$P_n$ 에서의

$y=x^2$ 의 접선의 기울기는

$4n$ 이다.

$C_n$ 의 중심과

$Q_n$ 을 지나는 직선은

$l_n$ 과 수직이므로 그 기울기는 위의 접선과 같은

$4n$ 이다. 따라서 그 직선의 방정식은

$y=4nx+2n^2$ 이다. 그리..

[210330] 2021년 3월 학평 미적분 30번 자연수

$n$ 에 대하여 삼차함수

$f(x)=x(x-n)(x-3n^2)$ 이 극대가 되는

$x$ 를

$a_n$ 이라 하자.

$x$ 에 대한 방정식

$f(x)=f(a_n)$ 의 근 중에서

$a_n$ 이 아닌 근을

$b_n$ 이라 할 때,

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_nb_n}{n^3}=\dfrac{q}{p}$ 이다.

$p+q$ 의 값을 구하시오. (단,

$p$ 와

$q$ 는 서로소인 자연수이다.)

$f(x)$ 가

$a_n$ 에서 극댓값을 가지고, 그 값이

$b_n$ 에서의 함수값과 같으므로

$f(x)=(x-a_n)^2(x-b_n)+c$ (

$c$ 는 상수)로 둘 수 있다.

$x(x-n)(x-3n^2)=(x-a_n)^2(x-b_n)+c$ 에서 이차항끼리 비교하면

$2a_n+b_n=3n^2+n$ 을 ..

[210321] 2021년 3월 학평 21번

$\overline{AB}=2$ ,

$\overline{AC}\parallel\overline{BD}$ ,

$\overline{AC}:\overline{BD}=1:2$ 인 두 삼각형

$ABC$ ,

$ABD$ 가 있다. 점

$C$ 에서 선분

$AB$ 에 내린 수선의 발

$H$ 는 선분

$AB$ 를

$1:3$ 으로 내분한다. 두 삼각형

$ABC$ ,

$ABD$ 의 외접원의 반지름의 길이를 각각

$r$ ,

$R$ 라 할 때,

$4(R^2-r^2)\times\sin^2(\angle CAB)=51$ 이다.

$\overline{AC}^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\angle CAB

[160930] 16 수능 9월 모평 B형 30번 양의 실수

$a$ 와 두 실수

$b$ ,

$c$ 에 대하여 함수

$f(x)=(ax^2+bx+c)e^x$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가)

$f(x)$ 는

$x=-\sqrt{3}$ 과

$x=\sqrt{3}$ 에서 극값을 갖는다. (나)

$0\le x_1\le x_2$ 인 임의의 두 실수

$x_1$ ,

$x_2$ 에 대하여

$f(x_1)-f(x_2)+x_2-x_1\ge0$ 이다. 세 수

$a$ ,

$b$ ,

$c$ 의 곱

$abc$ 의 최댓값을

$\dfrac{k}{e^3}$ 라 할 때,

$60k$ 의 값을 구하시오.

$f(x)$ 가 이차함수와

$e^x$ 의 곱으로 나타나므로 그 도함수 역시 이차함수와

$e^x$ 의 곱으로 나타난다. (가) 조건에서

$\pm\sqrt{3}$ 에서 극값을 가지므로

$f'(x)=a(x^2-3)e^x$ 이다. $\th..

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