본문 바로가기

전체 글

 (64)
[210430] 2021년 4월 학평 기하 30번 두 초점이 $F(c,0)$, $F'(-c,0)$ $(c>0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점 $P$에 대하여 직선 $FP$와 직선 $F'P$에 동시에 접하고 중심이 선분 $FF'$ 위에 있는 원 $C$가 있다. 원 $C$의 중심을 $C$, 직선 $F'P$가 원 $C$와 만나는 점을 $Q$라 할 때, $2\overline{PQ}=\overline{PF}$이다. $24\times\overline{CP}$의 값을 구하시오. (단, 점 $P$는 제$1$사분면 위의 점이다.) $c=3$임은 쉽게 알 수 있다. $\overline{PF}$와 원 $C$가 접하는 점을 $R$이라 하고 $\overline{PQ}=x$, $\overline{PC}=l$로 두자. $\over..
[210428] 2021년 4월 학평 기하 28번 좌표평면에서 두 점 $F\left(\dfrac{9}{4},0\right)$, $F'(-c,0)$ $(c>0)$을 초점으로 하는 타원과 포물선 $y^2=9x$가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $P$라 하자. $\overline{PF}=\dfrac{25}{4}$이고 포물선 $y^2=9x$ 위의 점 $P$에서의 접선이 점 $F'$을 지날 때, 타원의 단축의 길이는? 주어진 포물선의 준선의 방정식은 $x=-\dfrac{9}{4}$이고 $F$는 포물선의 초점이 된다. 포물선의 정의에 의해 $\overline{PF}$는 준선으로부터 $P$까지의 거리이므로 $P$의 $x$좌표는 $\dfrac{25}{4}-\dfrac{9}{4}=4$이다. 점 $P$는 $y^2=9x$ 위에 있고 제$1$사분면의 점이므로 $P$의 좌표는..
[210428] 2021년 4월 학평 미적분 28번 길이가 $4$인 선분 $A_1B_1$을 지름으로 하는 원 $O_1$이 있다. 원 $O_1$의 외부에 $\angle B_1A_1C_1=\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{A_1B_1}:\overline{A_1C_1}=4:3$이 되도록 점 $C_1$을 잡고 두 선분 $A_1C_1$, $B_1C_1$을 그린다. 원 $O_1$과 선분 $B_1C_1$의 교점 중 $B_1$이 아닌 점을 $D_1$이라 하고, 점 $D_1$을 포함하지 않는 호 $A_1B_1$과 두 선분 $A_1D_1$, $B_1D_1$으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자. 그림 $R_1$에서 호 $A_1D_1$과 두 선분 $A_1C_1$, $C_1D_1$에 동시에 접하는 원 $O_2$를 그리고 선분 $A_1C_..
[210429] 2021년 4월 학평 미적분 29번 $\angle BAC=\dfrac{2}{3}\pi$이고 $\overline{AB}>\overline{AC}$인 삼각형 $ABC$가 있다. $\overline{BD}=\overline{CD}$인 선분 $AB$ 위의 점 $D$에 대하여 $\angle CBD= \alpha$, $\angle ACD = \beta$라 하자. $\cos^2\alpha=\dfrac{7+\sqrt{21}}{14}$일 때, $54\sqrt3\times\beta$의 값을 구하시오. $\angle DCB = \angle DBC = \alpha$이고 $\angle ADC = \angle DBC + \angle DCB = 2\alpha$ $\beta=2\pi-(\dfrac{2}{3}\pi+2\alpha)=\dfrac{\pi}{3}-2\alph..
[210429] 2021년 4월 학평 확률과통계 29번 두 남학생 $A$, $B$를 포함한 $4$명의 남학생과 여학생 $C$를 포함한 $4$명의 여학생이 있다. 이 $8$명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) $A$와 $B$는 이웃한다. (나) $C$는 여학생과 이웃하지 않는다. $A$와 $B$는 항상 이웃하므로 묶어서 남학생 한 명으로 생각하자. 그러면 남학생 셋과 여학생 넷을 배열하는 경우의 수 문제로 볼 수 있다. 원순열이므로 먼저 $C$의 위치를 고정시켜놓고 생각하자. $C$의 옆자리에는 모두 남학생만이 와야한다. $C$와 $C$의 양옆에 고정된 두 남학생을 제외하고 남은 한 남학생과 나머지 여학생 셋을 배열하는 경우의 ..
[210430] 2021년 4월 학평 확률과통계 30번 다음 조건을 만족시키는 $14$ 이하의 네 자연수 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$의 모든 순서쌍 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$의 개수를 구하시오. (가) $x_1+x_2+x_3+x_4=34$ (나) $x_1$과 $x_3$은 홀수이고, $x_2$와 $x_4$는 짝수이다. $0\le k_1,k_2,k_3,k_4\le6$에 대해 $x_1=2k_1+1$, $x_2=2k_2+2$, $x_3=2k_3+1$, $x_4=2k_4+2$로 둘 수 있다. (가) 조건에 이를 대입하자. $x_1+x_2+x_3+x_4=(2k_1+1)+(2k_2+2)+(2k_3+1)+(2k_4+2)=2(k_1+k_2+k_3+k_4)+6=34$ $k_1+k_2+k_3+k_4=14$ 이를 만족하는 순서쌍 $(k_1,k_2,k_..
[210422] 2021년 4월 학평 22번 실수 $a$에 대하여 두 함수 $f(x)$, $g(x)$를 $f(x)=3x+a$, $g(x)=\displaystyle\int^x_2(t+a)f(t)dt$라 하자. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $h(-1)$의 최솟값은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) (가) 곡선 $y=h(x)$ 위의 어떤 점에서의 접선이 $x$축이다. (나) 곡선 $y=|h(x)|$가 $x$축에 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 $4$이다. $f(x)$가 최고차항의 계수가 $3$인 일차함수이므로 $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이고, $h(x)$는 최고차항의 계수가 $3$인 사차함수이다. (가)..
[210421] 2021년 4월 학평 21번 첫째항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=\begin{cases}a_n-2 \quad(a_n\ge0)\\a_n+5\quad(a_n

티스토리툴바