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[210430] 2021년 4월 학평 기하 30번 두 초점이

$F(c,0)$ ,

$F'(-c,0)$

$(c>0)$ 인 타원

$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점

$P$ 에 대하여 직선

$FP$ 와 직선

$F'P$ 에 동시에 접하고 중심이 선분

$FF'$ 위에 있는 원

$C$ 가 있다. 원

$C$ 의 중심을

$C$ , 직선

$F'P$ 가 원

$C$ 와 만나는 점을

$Q$ 라 할 때,

$2\overline{PQ}=\overline{PF}$ 이다.

$24\times\overline{CP}$ 의 값을 구하시오. (단, 점

$P$ 는 제

$1$ 사분면 위의 점이다.)

$c=3$ 임은 쉽게 알 수 있다.

$\overline{PF}$ 와 원

$C$ 가 접하는 점을

$R$ 이라 하고

$\overline{PQ}=x$ ,

$\overline{PC}=l$ 로 두자. $\over..

[210428] 2021년 4월 학평 기하 28번 좌표평면에서 두 점

$F\left(\dfrac{9}{4},0\right)$ ,

$F'(-c,0)$

$(c>0)$ 을 초점으로 하는 타원과 포물선

$y^2=9x$ 가 제

$1$ 사분면에서 만나는 점을

$P$ 라 하자.

$\overline{PF}=\dfrac{25}{4}$ 이고 포물선

$y^2=9x$ 위의 점

$P$ 에서의 접선이 점

$F'$ 을 지날 때, 타원의 단축의 길이는? 주어진 포물선의 준선의 방정식은

$x=-\dfrac{9}{4}$ 이고

$F$ 는 포물선의 초점이 된다. 포물선의 정의에 의해

$\overline{PF}$ 는 준선으로부터

$P$ 까지의 거리이므로

$P$ 의

$x$ 좌표는

$\dfrac{25}{4}-\dfrac{9}{4}=4$ 이다. 점

$P$ 는

$y^2=9x$ 위에 있고 제

$1$ 사분면의 점이므로

$P$ 의 좌표는..

[210428] 2021년 4월 학평 미적분 28번 길이가

$4$ 인 선분

$A_1B_1$ 을 지름으로 하는 원

$O_1$ 이 있다. 원

$O_1$ 의 외부에

$\angle B_1A_1C_1=\dfrac{\pi}{2}$ ,

$\overline{A_1B_1}:\overline{A_1C_1}=4:3$ 이 되도록 점

$C_1$ 을 잡고 두 선분

$A_1C_1$ ,

$B_1C_1$ 을 그린다. 원

$O_1$ 과 선분

$B_1C_1$ 의 교점 중

$B_1$ 이 아닌 점을

$D_1$ 이라 하고, 점

$D_1$ 을 포함하지 않는 호

$A_1B_1$ 과 두 선분

$A_1D_1$ ,

$B_1D_1$ 으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을

$R_1$ 이라 하자. 그림

$R_1$ 에서 호

$A_1D_1$ 과 두 선분

$A_1C_1$ ,

$C_1D_1$ 에 동시에 접하는 원

$O_2$ 를 그리고 선분 $A_1C_..

[210429] 2021년 4월 학평 미적분 29번

$\angle BAC=\dfrac{2}{3}\pi$ 이고

$\overline{AB}>\overline{AC}$ 인 삼각형

$ABC$ 가 있다.

$\overline{BD}=\overline{CD}$ 인 선분

$AB$ 위의 점

$D$ 에 대하여

$\angle CBD= \alpha$ ,

$\angle ACD = \beta$ 라 하자.

$\cos^2\alpha=\dfrac{7+\sqrt{21}}{14}$ 일 때,

$54\sqrt3\times\beta$ 의 값을 구하시오.

$\angle DCB = \angle DBC = \alpha$ 이고

$\angle ADC = \angle DBC + \angle DCB = 2\alpha$ $\beta=2\pi-(\dfrac{2}{3}\pi+2\alpha)=\dfrac{\pi}{3}-2\alph..

[210429] 2021년 4월 학평 확률과통계 29번 두 남학생

$A$ ,

$B$ 를 포함한

$4$ 명의 남학생과 여학생

$C$ 를 포함한

$4$ 명의 여학생이 있다. 이

$8$ 명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가)

$A$ 와

$B$ 는 이웃한다. (나)

$C$ 는 여학생과 이웃하지 않는다.

$A$ 와

$B$ 는 항상 이웃하므로 묶어서 남학생 한 명으로 생각하자. 그러면 남학생 셋과 여학생 넷을 배열하는 경우의 수 문제로 볼 수 있다. 원순열이므로 먼저

$C$ 의 위치를 고정시켜놓고 생각하자.

$C$ 의 옆자리에는 모두 남학생만이 와야한다.

$C$ 와

$C$ 의 양옆에 고정된 두 남학생을 제외하고 남은 한 남학생과 나머지 여학생 셋을 배열하는 경우의 ..

[210430] 2021년 4월 학평 확률과통계 30번 다음 조건을 만족시키는

$14$ 이하의 네 자연수

$x_1$ ,

$x_2$ ,

$x_3$ ,

$x_4$ 의 모든 순서쌍

$(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 의 개수를 구하시오. (가)

$x_1+x_2+x_3+x_4=34$ (나)

$x_1$ 과

$x_3$ 은 홀수이고,

$x_2$ 와

$x_4$ 는 짝수이다.

$0\le k_1,k_2,k_3,k_4\le6$ 에 대해

$x_1=2k_1+1$ ,

$x_2=2k_2+2$ ,

$x_3=2k_3+1$ ,

$x_4=2k_4+2$ 로 둘 수 있다. (가) 조건에 이를 대입하자.

$x_1+x_2+x_3+x_4=(2k_1+1)+(2k_2+2)+(2k_3+1)+(2k_4+2)=2(k_1+k_2+k_3+k_4)+6=34$

$k_1+k_2+k_3+k_4=14$ 이를 만족하는 순서쌍 $(k_1,k_2,k_..

[210422] 2021년 4월 학평 22번 실수

$a$ 에 대하여 두 함수

$f(x)$ ,

$g(x)$ 를

$f(x)=3x+a$ ,

$g(x)=\displaystyle\int^x_2(t+a)f(t)dt$ 라 하자. 함수

$h(x)=f(x)g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때,

$h(-1)$ 의 최솟값은

$\dfrac{q}{p}$ 이다.

$p+q$ 의 값을 구하시오. (단,

$p$ 와

$q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) 곡선

$y=h(x)$ 위의 어떤 점에서의 접선이

$x$ 축이다. (나) 곡선

$y=|h(x)|$ 가

$x$ 축에 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은

$4$ 이다.

$f(x)$ 가 최고차항의 계수가

$3$ 인 일차함수이므로

$g(x)$ 는 최고차항의 계수가

$1$ 인 삼차함수이고,

$h(x)$ 는 최고차항의 계수가

$3$ 인 사차함수이다. (가)..

[210421] 2021년 4월 학평 21번 첫째항이 자연수인 수열

$\{a_n\}$ 이 모든 자연수

$n$ 에 대하여 $a_{n+1}=\begin{cases}a_n-2 \quad(a_n\ge0)\\a_n+5\quad(a_n

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