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[220629] 22 수능 6월 모평 미적분 29번

$t>2e$ 인 실수

$t$ 에 대하여 함수

$f(x)=t(\ln x)^2-x^2$ 이

$x=k$ 에서 극대일 때, 실수

$k$ 의 값을

$g(t)$ 라 하면

$g(t)$ 는 미분가능한 함수이다.

$g(\alpha)=e^2$ 인 실수

$\alpha$ 에 대하여

$\alpha\times\{g'(\alpha)\}^2=\dfrac{q}{p}$ 일 때,

$p+q$ 의 값을 구하시오. (단,

$p$ 와

$q$ 는 서로소인 자연수이다.)

$f(x)$ 는 미분가능한 함수이므로

$x=k$ 에서 극대이면

$f'(k)=0$ 이다.

$f'(x)=2t\ln x\dfrac{1}{x}-2x$ 이므로

$f'(k)=2t\ln k\dfrac{1}{k}-2k=0$

$\therefore t\ln k=k^2$

$k=g(t)$ 에서 $t\ln(g(t))=\{g(t)\}^2..

[220630] 22 수능 6월 모평 미적분 30번

$t>\dfrac{1}{2}\ln2$ 인 실수

$t$ 에 대하여 곡선

$y=\ln(1+e^{2x}-e^{-2t})$ 과 직선

$y=x+t$ 가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를

$f(t)$ 라 할 때,

$f'(\ln2)=\dfrac{q}{p}\sqrt2$ 이다.

$p+q$ 의 값을 구하시오. (단,

$p$ 와

$q$ 는 서로소인 자연수이다.) 주어진 두 함수 모두

$x=-t$ 에서의 함수 값이 0이므로 만나는 두 점 중 하나는

$(-t,0)$ 이다.

$\ln(1+e^{2x}-e^{-2t})=x+t$

$1+e^{2x}-e^{-2t}=e^{x+t}$

$e^{2x}-e^{x+t}-e^{-2t}+1=0$ 이 식을

$e^x$ 에 대한 이차식으로 보고 인수분해하자. 교점 중 하나의

$x$ 좌표가

$-t$ 이므로

$e^x-e^{-t}$ ..

[191130] 19 수능 가형 30번 최고차항의 계수가

$6\pi$ 인 삼차함수

$f(x)$ 에 대하여 함수

$g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}$ 이

$x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소이고,

$\alpha\ge0$ 인 모든

$\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

$\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5,\cdots$ 라 할 때,

$g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가)

$\alpha_1=0$ 이고

$g(\alpha_1)=\dfrac{2}{5}$ 이다. (나)

$\dfrac{1}{g(\alpha_5)}=\dfrac{1}{g(\alpha_2)}+\dfrac{1}{2}$

$g'(-\dfrac{1}{2})=a\pi$ 라 할 때,

$a^2$ 의 값을 구하시오. (단, $0f(\alp..

이차곡선 위의 점의 좌표를 통해 접선의 방정식 구하기 이차곡선

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 위의 점

$(x_1,y_1)$ 에서 그은 접선의 방정식을 구해보자. 이차곡선의 방정식을

$x$ 에 대해 미분하면 다음 식을 얻는다.

$2Ax+By+Bx\dfrac{dy}{dx}+2Cy\dfrac{dy}{dx}+D+E\dfrac{dy}{dx}=0$

$\therefore\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2Ax+By+D}{Bx+2Cy+E}$

$(x_1, y_1)$ 에서 그은 접선의 기울기는

$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(x_1,y_1)}=-\dfrac{2Ax_1+By_1+D}{Bx_1+2Cy_1+E}$ 이므로 접선의 방정식은 다음과 같다.

$y-y_1=\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(x_1,y_1)}(x-x_1)$ $(2Ax_1+By..

[141129] 14 수능 B형 29번 좌표공간에서 구

$x^2+y^2+z^2=4$ 위를 움직이는 두 점

$P$ ,

$Q$ 가 있다. 두 점

$P$ ,

$Q$ 에서 평면

$y=4$ 에 내린 수선의 발을 각각

$P_1$ ,

$Q_1$ 이라 하고, 평면

$y+\sqrt3z+8=0$ 에 내린 수선의 발을 각각

$P_2$ ,

$Q_2$ 라 하자.

$2|\overrightarrow{PQ}|^2-|\overrightarrow{P_1Q_1}|^2-|\overrightarrow{P_2Q_2}|^2$ 의 최댓값을 구하시오. 평면

$y=4$ 와 평면

$y+\sqrt3z+8=0$ 의 법선벡터는 각각

$(0,1,0)$ ,

$(0,1,\sqrt3)$ 이므로 두 평면이 이루는 각을

$\theta$ 라 하면 $\cos\theta=\dfrac{(0,1,0)\cdot(0,1,\sqrt3)}{|(0,1..

[150921] 15 수능 9월 모평 B형 21번 양수

$t$ 에 대하여

$\log t$ 의 정수 부분과 소수 부분을 각각

$f(t)$ ,

$g(t)$ 라 하자. 자연수

$n$ 에 대하여

$f(t)=9n\left\{g(t)-\dfrac{1}{3}\right\}-n$ 을 만족시키는 서로 다른 모든

$f(t)$ 의 합을

$a_n$ 이라 할 때,

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n^2}$ 의 값은? $0\le g(t)

[060320] 2006년 3월 학평 가형 20번 A, B, C, D 4개의 축구팀이 있다. 이들은 각각 다른 모든 팀과 1경기 씩을 치르게 되고, 각각의 팀이 경기에서 이길 확률은

$\dfrac{1}{2}$ 이다. 경기에서 모두 이기거나, 경기에서 모두 진 팀이 생길 확률을

$\dfrac{n}{m}$ (

$m$ ,

$n$ 은 서로소인 자연수)이라 할 때,

$m+n$ 의 값을 구하시오. (단, 비기는 경기는 없다.) 전승하는 팀이 생길 확률은 전승할 팀을 고른 뒤, 그 팀이 3번의 경기에서 모두 이길 확률이다. 이는

$_4C_1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{2}$ 이다. 전패하는 팀이 생길 확률도

$\dfrac{1}{2}$ 이다. 전승하는 팀과 전패하는 팀이 동시에 나타날 확률을 구해보자. 전승할 팀, 전패할 팀을 뽑은 ..

[161030] 2016년 10월 학평 가형 30번

$1$ 부터

$9$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는

$9$ 개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때,

$i$ 번째(

$i=1,2,\cdots,9$ ) 꺼낸 공에 적혀 있는 수를

$a_i$ 라 하자. $1

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