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[130727] 2013년 7월 학평 B형 27번 남학생 4명, 여학생 2명이 간격이 일정한 9개의 자리가 있는 원탁에 다음 두 조건에 따라 앉으려고 할 때, 앉을 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) 남학생, 여학생 모두 같은 성별끼리 2명씩 조를 만든다. (나) 서로 다른 두 개의 조 사이에 반드시 한 자리를 비워둔다. 6명이 2명씩 조를 이루어 함께 앉고 조끼리 한 자리씩 띄워 앉으므로 3개의 빈 자리가 필요하다. 학생들이 앉는 6개의 자리와 빈 3개의 자리를 합하면 모든 자리를 사용하게 된다. 학생들은 (남, 남, 여)의 3개 조로 나뉘는데 조를 어떻게 배치해도 회전하면 똑같은 배치가 된다. 이제 남학생 4명과 여학생 2명을 각각 배열하면 되므로 경우의 수는 $4!\times2!=48$
[150730] 2015년 7월 학평 A형 30번 검은 바둑돌과 흰 바둑돌을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은 $\LARGE\bullet\,\bullet$, $\LARGE\bullet\,\circ$, $\LARGE\circ\,\bullet$, $\LARGE\circ\,\circ$으로 4가지이다. 예를 들어, 6개의 바둑돌을 2번, 1번, 1번, 1번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 $\LARGE\bullet\bullet\circ\circ\bullet\,\bullet$, $\LARGE\circ\bullet\bullet\bullet\circ\,\circ$, $\LARGE\circ\circ\bullet\bullet\bullet\,\circ$, $\LARGE\bullet\bullet\bullet\circ\c..
[180930] 18 수능 9월 모평 가형 30번 함수 $f(x)=\ln(e^x+1)+2e^x$에 대하여 이차함수 $g(x)$와 실수 $k$는 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $h(x)=|g(x)-f(x-k)|$는 $x=k$에서 최솟값 $g(k)$를 갖고, 닫힌구간 $[k-1,k+1]$에서 최댓값 $2e+\ln\left(\dfrac{1+e}{\sqrt2}\right)$를 갖는다. $g'\left(k-\dfrac{1}{2}\right)$의 값을 구하시오. (단, $\dfrac{5}{2}0$, $x
[180621] 18 수능 6월 모평 가형 21번 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$에 대하여 $F(x)=\ln|f(x)|$라 하고, 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$에 대하여 $G(x)=\ln|g(x)\sin x|$라 하자. $\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)F'(x)=3$, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{F'(x)}{G'(x)}=\dfrac{1}{4}$일 때, $f(3)+g(3)$의 값은? 로피탈의 정리를 활용해 극한에 등장하는 $F'(x)$를 $F(x)$로 바꾸자. $\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)F'(x)&=\lim_{x\to1}\dfrac{F'(x)}{\frac{1}{x-1}}\\&=\lim_{x\to1}\dfrac{F(x..
퍼텐셜 에너지는 왜 U로 적을까? 퍼텐셜 에너지를 $U$로 적는 유래가 무엇인지 궁금해 구글링하다보니 다른 유래들도 알게 되어 모아서 적어봤다. 퍼텐셜 에너지 $U$ 정확한 설명은 없었고 설득력 있어 보이는 것은 다음과 같다. Voltage의 $V$에서 유래했다는 설 퍼텐셜 우물의 모양과 비슷해서 사용한다는 설 자기장 $B$, $H$ 맥스웰이 처음 전자기학을 정립했을 때, 벡터장을 순서대로 $A$부터 $H$를 사용해 나타냈다. 그 중 일부만 지금까지도 사용하고, 나머지는 사라진 것. 전류 $I$ Intensity의 $I$ 광속 $c$ 속도를 의미하는 라틴어 celeritas에서 따왔다. constant를 의미한다는 의견도 있긴하다. 플랑크 상수 $h$ 보조 변수를 의미하는 독일어 Hilfsgrösse에서 따왔다. 운동량 $p$ 운동량은 ..
쿠라토프스키 폐포-여집합 문제 Kuratowski's closure-complement problem 위상 공간 $X$의 부분집합에 대해 정의된 폐포(Closure), 여집합을 구하는 연산 $k:A\mapsto \overline{A}$와 $c:A\mapsto A^c$를 생각하자. $A\subset X$에 이 두 연산을 반복해서 적용한다면 서로 다른 집합을 몇 개까지 얻을 수 있을까? 일단 $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$, $(A^c)^c=A$이므로 $kkA=kA$, $ccA=A$이다. 어느 한 연산을 반복해서 적용하면 새로운 집합을 얻을 수 없으므로 두 연산을 번갈아 적용해야 한다. $ckcA=\overline{A^c}^c=\mathrm{int}A$이고 $\overline{\mathrm{int}(\overline{\mathrm{int}A})}=\overline{\ma..
[210429] 2021년 4월 학평 기하 29번 좌표평면 위에 네 점 $A(-2,0)$, $B(1,0)$, $C(2,1)$, $D(0,1)$이 있다. 반원의 호 $(x+1)^2+y^2=1$ $(0\le y\le1)$ 위를 움직이는 점 $P$와 삼각형 $BCD$ 위를 움직이는 점 $Q$에 대하여 $|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}|$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M^2+m^2=p+2\sqrt q$일 때, $p\times q$의 값을 구하시오. (단, $O$는 원점이고, $p$와 $q$는 유리수이다.) $P$, $Q$의 좌표를 $P(-1+\cos\theta,\sin\theta)$, $Q(a,b)$로 잡자. ($0\le\theta\le\pi$) $\overrightarrow{OP}+\overrigh..
[210430] 2021년 4월 학평 미적분 30번 함수 $f(x)$를 $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}$ ($a$, $b$는 양의 상수)라 하자. 자연수 $m$에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$의 실근의 개수를 $c_m$이라 할 때, $c_k=5$인 자연수 $k$가 존재한다. $k+\displaystyle\sum^\infty_{m=1}(c_m-1)$의 값을 구하시오.$\pm1$을 기준으로 $x$의 범위를 나누어 $f(x)$의 값을 구해보자. i) $|x|>1$$\begin{align*}f(x)&=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}\\&=\lim_{n\to\inf..

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